Seja V=\mathbb{R}^{4} e W=[(1,1,0,0),(1,1,1,1)].
Determinar \operatorname{proj}_{W} v, onde v=(1,-1,1,-1).
Passo 1
O enunciado diz que temos o espaço V=\mathbb{R}^4 com produto interno usual e o subespaço
W = \operatorname{span}\{w_1, w_2\},
onde
w_1 = (1,1,0,0), \quad w_2 = (1,1,1,1),
e queremos calcular a projeção ortogonal de
v = (1,-1,1,-1)
sobre W. O método é resolver as equações normais para encontrar scalres \alpha,\beta tais que \operatorname{proj}_W v = \alpha w_1 + \beta w_2 e (v - (\alpha w_1 + \beta w_2)) seja ortogonal a w_1 e w_2.
Passo 2
Calculamos os produtos internos entre os vetores geradores de W para montar a matriz de Gram: