Seja V=\mathbb{R}^{4} e W=[(1,1,0,0),(1,1,1,1)].
Determinar \operatorname{proj}_{W} v, onde v=(1,-1,1,-1).

Passo 1

O enunciado diz que temos o espaço V=\mathbb{R}^4 com produto interno usual e o subespaço
W = \operatorname{span}\{w_1, w_2\},
onde
w_1 = (1,1,0,0), \quad w_2 = (1,1,1,1),
e queremos calcular a projeção ortogonal de
v = (1,-1,1,-1)
sobre W. O método é resolver as equações normais para encontrar scalres \alpha,\beta tais que \operatorname{proj}_W v = \alpha w_1 + \beta w_2 e (v - (\alpha w_1 + \beta w_2)) seja ortogonal a w_1 e w_2.

Passo 2

Calculamos os produtos internos entre os vetores geradores de W para montar a matriz de Gram:
\langle w_1,w_1\rangle = 1^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2 = 2,
\langle w_1,w_2\rangle = 1\cdot1 + 1\cdot1 + 0\cdot1 + 0\cdot1 = 2,
\langle w_2,w_2\rangle = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 = 4.
Logo a matriz de Gram é
G = \begin{pmatrix} 2 & 2\\\\ 2 & 4 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos os produtos internos de v com w_1 e w_2:
\langle v,w_1\rangle = 1\cdot1 + (-1)\cdot1 + 1\cdot0 + (-1)\cdot0 = 0,
\langle v,w_2\rangle = 1\cdot1 + (-1)\cdot1 + 1\cdot1 + (-1)\cdot1 = 0.
Isso gera o vetor coluna
b = \begin{pmatrix}\langle v,w_1\rangle \\[6pt] \langle v,w_2\rangle\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.]

Passo 4

As equações normais G\begin{pmatrix}\alpha\\beta\end{pmatrix}=b ficam
\begin{pmatrix} 2 & 2\\\\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\alpha\\beta\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Escrevendo em forma de sistema:
\begin{cases} 2\alpha + 2\beta = 0,\\\\ 2\alpha + 4\beta = 0. \end{cases}

Passo 5

Do primeiro temos \alpha + \beta = 0, logo \alpha = -\beta. Substituindo no segundo:
2(-\beta) + 4\beta = 2\beta = 0 \quad\Longrightarrow\quad \beta = 0,
e daí \alpha = 0.

Passo 6

Como \alpha = \beta = 0, a projeção é
\operatorname{proj}_W v = \alpha\,w_1 + \beta\,w_2 = 0\cdot w_1 + 0\cdot w_2 = (0,0,0,0).

Resposta

(0,0,0,0)

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