Exercício 5.12.1. Dizer quais dos seguintes sistemas de vetores de
são ortogonais:
Passo 1
O enunciado pede para verificar quais dos sistemas de vetores em
são ortogonais, isto é, em cada sistema todo par de vetores distintos tem produto escalar nulo.
Passo 2
Lembrando que, para
e
em
, o produto escalar é
Um sistema é ortogonal se, e somente se, para todo par
do sistema,
.
Passo 3
Verificando
:
,
.
Como já existe um par com produto não nulo, não é ortogonal.
Como já existe um par com produto não nulo,
Passo 4
Verificando
:
.
Só há esse par e o produto é zero, logo é ortogonal.
Só há esse par e o produto é zero, logo
Passo 5
Verificando
:
,
.
Há um par com produto não nulo, então não é ortogonal.
Há um par com produto não nulo, então
Passo 6
Verificando
:
,
.
Logo não é ortogonal.
Logo
Passo 7
Verificando
:
,
,
.
Todos os pares têm produto zero, logo é ortogonal.
Todos os pares têm produto zero, logo
Passo 8
Verificando
:
o vetor zero é ortogonal a qualquer vetor, mas .
Portanto não é ortogonal.
o vetor zero é ortogonal a qualquer vetor, mas
Portanto
Resposta
Os únicos sistemas ortogonais são
e
.