Exercício 5.12.1. Dizer quais dos seguintes sistemas de vetores de \mathbb{R}^{3} são ortogonais:
\begin{gathered} V_{1}=\{(1,0,1),(-1,4,1),(5,0,5)\}, \quad V_{2}=\{(1,0,1),(-1,4,1)\}, \quad V_{3}=\{(1,0,1),(-1,4,1),(0,0,1)\}, \\ V_{4}=\{(0,0,1),(3,4,0),(-4,3,1)\}, \quad V_{5}=\{(0,0,1),(3,4,0),(-4,3,0)\}, \quad V_{6}=\{(0,0,0),(-1,0,1),(5,0,-5)\} \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais dos sistemas de vetores em \mathbb{R}^{3}
V_{1},V_{2},V_{3},V_{4},V_{5},V_{6}
são ortogonais, isto é, em cada sistema todo par de vetores distintos tem produto escalar nulo.

Passo 2

Lembrando que, para \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) em \mathbb{R}^3, o produto escalar é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Um sistema é ortogonal se, e somente se, para todo par \mathbf{u}\neq\mathbf{v} do sistema, \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0.

Passo 3

Verificando V_{1}=\{(1,0,1),\,(-1,4,1),\,(5,0,5)\}: \,(1,0,1)\cdot(-1,4,1)=-1+0+1=0, \,(1,0,1)\cdot(5,0,5)=5+0+5=10\neq0.
Como já existe um par com produto não nulo, V_{1} não é ortogonal.

Passo 4

Verificando V_{2}=\{(1,0,1),\,(-1,4,1)\}: \,(1,0,1)\cdot(-1,4,1)=-1+0+1=0.
Só há esse par e o produto é zero, logo V_{2} é ortogonal.

Passo 5

Verificando V_{3}=\{(1,0,1),\,(-1,4,1),\,(0,0,1)\}: \,(1,0,1)\cdot(-1,4,1)=0, \,(1,0,1)\cdot(0,0,1)=1\neq0.
Há um par com produto não nulo, então V_{3} não é ortogonal.

Passo 6

Verificando V_{4}=\{(0,0,1),\,(3,4,0),\,(-4,3,1)\}: (0,0,1)\cdot(3,4,0)=0, (0,0,1)\cdot(-4,3,1)=1\neq0.
Logo V_{4} não é ortogonal.

Passo 7

Verificando V_{5}=\{(0,0,1),\,(3,4,0),\,(-4,3,0)\}: (0,0,1)\cdot(3,4,0)=0, (0,0,1)\cdot(-4,3,0)=0, (3,4,0)\cdot(-4,3,0)=-12+12+0=0.
Todos os pares têm produto zero, logo V_{5} é ortogonal.

Passo 8

Verificando V_{6}=\{(0,0,0),\,(-1,0,1),\,(5,0,-5)\}:
o vetor zero é ortogonal a qualquer vetor, mas (-1,0,1)\cdot(5,0,-5)=-5-5=-10\neq0.
Portanto V_{6} não é ortogonal.

Resposta

Os únicos sistemas ortogonais são V_{2} e V_{5}.

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