Dê as componentes (ou coordenadas) do vetor v \in V em relação à base \mathcal{B} em cada caso:
V=\mathbb{R}^{3}, v=(x, y, z) e \mathcal{B}= base canônica.

Passo 1

O enunciado dá:
  • O espaço vetorial V=\mathbb{R}^{3}.
  • Um vetor genérico v=(x,y,z) em V.
  • A base \mathcal{B} é a base canônica de \mathbb{R}^{3}.
O que se pede:
  • Encontrar as componentes (ou coordenadas) do vetor v em relação à base \mathcal{B}.
Primeiro, o que significa “componentes de v em relação à base \mathcal{B}”?
Significa escrever v como combinação linear dos vetores da base \mathcal{B} e identificar os coeficientes dessa combinação. Esses coeficientes são as coordenadas de v na base \mathcal{B}.

Passo 2

Escrevendo explicitamente a base canônica \mathcal{B} de \mathbb{R}^{3}:
\mathcal{B}=\{e_{1},e_{2},e_{3}\},
onde
e_{1}=(1,0,0),\qquad e_{2}=(0,1,0),\qquad e_{3}=(0,0,1).
Esses vetores formam uma base porque são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^{3}.

Passo 3

Agora representamos v=(x,y,z) como combinação linear dos vetores da base canônica. A identidade elemental é:
v = x\,e_{1} + y\,e_{2} + z\,e_{3}.
Esse é exatamente o processo de decompor v nos vetores da base: o primeiro coeficiente multiplica e_{1}, o segundo coeficiente multiplica e_{2} e o terceiro coeficiente multiplica e_{3}.

Passo 4

Por unicidade da decomposição em uma base (propriedade fundamental das bases), os coeficientes x, y e z são justamente as coordenadas de v na base \mathcal{B}. Ou seja, ao expressar v na base canônica, basta “ler” as entradas do vetor v.
Resumo prático para a prova: dado v=(x,y,z) e a base canônica \mathcal{B}, escreva v como \,x e_{1}+y e_{2}+z e_{3}\, e tire os coeficientes. Esses coeficientes formam o vetor de coordenadas de v relativo a \mathcal{B}.

Resposta

(x,y,z)

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