Dê as componentes (ou coordenadas) do vetor
em relação à base
em cada caso:
e
base canônica.
Passo 1
O enunciado dá:
- O espaço vetorial
. - Um vetor genérico
em . - A base
é a base canônica de .
O que se pede:
- Encontrar as componentes (ou coordenadas) do vetor
em relação à base .
Primeiro, o que significa “componentes de
em relação à base
”?
Significa escrever como combinação linear dos vetores da base
e identificar os coeficientes dessa combinação. Esses coeficientes são as coordenadas de
na base
.
Significa escrever
Passo 2
Escrevendo explicitamente a base canônica
de
:
onde
Esses vetores formam uma base porque são linearmente independentes e geram
.
Passo 3
Agora representamos
como combinação linear dos vetores da base canônica. A identidade elemental é:
Esse é exatamente o processo de decompor
nos vetores da base: o primeiro coeficiente multiplica
, o segundo coeficiente multiplica
e o terceiro coeficiente multiplica
.
Passo 4
Por unicidade da decomposição em uma base (propriedade fundamental das bases), os coeficientes
,
e
são justamente as coordenadas de
na base
. Ou seja, ao expressar
na base canônica, basta “ler” as entradas do vetor
.
Resumo prático para a prova: dado
e a base canônica
, escreva
como
e tire os coeficientes. Esses coeficientes formam o vetor de coordenadas de
relativo a
.