Seja
. Represente um elemento arbitrário
de
como soma:
de dois polinômios
e
pertencentes a
, tais que
possui todos os coeficientes iguais, e a soma dos coeficientes de
é zero;
de dois polinômios
Passo 1
O enunciado dá:
- O espaço vetorial
, isto é, o conjunto dos polinômios reais de grau no máximo . - Quer-se representar um elemento arbitrário
como soma de dois polinômios e em tais que: -
tem todos os coeficientes iguais; - a soma dos coeficientes de
é zero.
-
As perguntas implícitas são:
- Dado um polinômio arbitrário
, como escrever explicitamente e que satisfazem essas condições? - Encontrar as expressões de
e em função dos coeficientes de .
Passo 2
Vamos começar escrevendo um polinômio arbitrário
pelos seus coeficientes. Seja
onde
são os coeficientes dados (peguei isso do enunciado:
é arbitrário em
).
Agora interpreto as condições pedidas:
- "
possui todos os coeficientes iguais" significa que existe um número tal que
- “a soma dos coeficientes de
é zero” significa que, se escrevemos , então
Passo 3
A decomposição pedida é
Substituindo
e
por suas formas em termos de coeficientes, obtemos
Logo os coeficientes de
são
A condição “soma dos coeficientes de
é zero” impõe
Daí
Passo 4
Resolvo a equação anterior para
:
Portanto
fica explicitado como
E
é simplesmente a diferença
. Calculando os coeficientes de
usando
acima:
isto é,
Um pequeno chek rápido (para motivar): a soma dos coeficientes de
é
como exigido.
Exemplo numérico ilustrativo (por diversão): se
então
,
e
, cuja soma de coeficientes é
.
Passo 5
Observação sobre unicidade: a escolha de
ficou determinada pela equação
, logo a decomposição
com as propriedades pedidas é única (não há liberdade além de
que já foi fixado).