Seja V=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}). Represente um elemento arbitrário p de V como soma:
de dois polinômios q e f pertencentes a V, tais que q possui todos os coeficientes iguais, e a soma dos coeficientes de f é zero;

Passo 1

O enunciado dá:
  • O espaço vetorial V=\mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}), isto é, o conjunto dos polinômios reais de grau no máximo 2.
  • Quer-se representar um elemento arbitrário p\in V como soma de dois polinômios q e f em V tais que:
    • q tem todos os coeficientes iguais;
    • a soma dos coeficientes de f é zero.
As perguntas implícitas são:
  • Dado um polinômio arbitrário p, como escrever explicitamente q e f que satisfazem essas condições?
  • Encontrar as expressões de q e f em função dos coeficientes de p.

Passo 2

Vamos começar escrevendo um polinômio arbitrário p\in\mathcal{P}_2(\mathbb{R}) pelos seus coeficientes. Seja
p(x)=a x^{2}+b x+c,
onde a,b,c\in\mathbb{R} são os coeficientes dados (peguei isso do enunciado: p é arbitrário em P_2(\mathbb{R})).
Agora interpreto as condições pedidas:
  • " q possui todos os coeficientes iguais" significa que existe um número t\in\mathbb{R} tal que
q(x)=t x^{2}+t x+t = t(x^{2}+x+1).
  • “a soma dos coeficientes de f é zero” significa que, se escrevemos f(x)=\alpha x^{2}+\beta x+\gamma, então
\alpha+\beta+\gamma=0.

Passo 3

A decomposição pedida é
p(x)=q(x)+f(x).
Substituindo p e q por suas formas em termos de coeficientes, obtemos
a x^{2}+b x+c = t x^{2}+t x+t + f(x).
Logo os coeficientes de f são
\text{coeficientes de }f: \quad \alpha=a-t,\quad \beta=b-t,\quad \gamma=c-t.
A condição “soma dos coeficientes de f é zero” impõe
\alpha+\beta+\gamma=(a-t)+(b-t)+(c-t)=0.
Daí
(a+b+c)-3t=0.

Passo 4

Resolvo a equação anterior para t:
t=\frac{a+b+c}{3}.
Portanto q fica explicitado como
q(x)=\frac{a+b+c}{3}\,(x^{2}+x+1).
E f é simplesmente a diferença f=p-q. Calculando os coeficientes de f usando t acima:
f(x)=(a-t)x^{2}+(b-t)x+(c-t),
isto é,
f(x)=\left(a-\frac{a+b+c}{3}\right)x^{2}+\left(b-\frac{a+b+c}{3}\right)x+\left(c-\frac{a+b+c}{3}\right).
Um pequeno chek rápido (para motivar): a soma dos coeficientes de f é
\left(a-\frac{a+b+c}{3}\right)+\left(b-\frac{a+b+c}{3}\right)+\left(c-\frac{a+b+c}{3}\right) = (a+b+c)-3\cdot\frac{a+b+c}{3}=0,
como exigido.
Exemplo numérico ilustrativo (por diversão): se p(x)=2x^{2}+3x+4 então t=(2+3+4)/3=3, q(x)=3(x^{2}+x+1)=3x^{2}+3x+3 e f(x)=p-q=-x^{2}+0x+1, cuja soma de coeficientes é -1+0+1=0.

Passo 5

Observação sobre unicidade: a escolha de t ficou determinada pela equação (a+b+c)-3t=0, logo a decomposição p=q+f com as propriedades pedidas é única (não há liberdade além de t que já foi fixado).

Resposta

q(x)=\dfrac{a+b+c}{3}\,(x^{2}+x+1)
f(x)=\left(a-\dfrac{a+b+c}{3}\right)x^{2}+\left(b-\dfrac{a+b+c}{3}\right)x+\left(c-\dfrac{a+b+c}{3}\right)

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