Seja V=\mathrm{R}^{3}. Verificar quais dos seguintes conjuntos são LI ou LD. u_{1}=(1,1,2), u_{2}=(0,1,3), u_{3}=(0,0,1)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto formado pelos três vetores dados é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). As informações fornecidas são os vetores em \mathbb{R}^{3}:
Portanto a tarefa é decidir se existe alguma combinação linear não trivial
\alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2}+\alpha_{3}u_{3}=0
com coeficientes \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} não todos nulos, ou se a única solução é a trivial \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0.
Passo 2
Definição e ideia de método (explicação didática e prática).
Definição: Um conjunto de vetores é linearmente independente (LI) se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial, isto é, se
\alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2}+\alpha_{3}u_{3}=0
implica \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0. Caso contrário é linearmente dependente (LD).
Métodos práticos em \mathbb{R}^{3} com três vetores:
Montar o sistema obtido da combinação linear igual a zero e resolver (método direto).
Colocar os vetores como colunas de uma matriz A e calcular \det(A): se \det(A)\neq0 então os vetores são LI; se \det(A)=0 então são LD.
Vou usar o método direto (resolver a combinação linear) porque é bem didático e rápido aqui; depois mostro brevemente o teste do determinante como alternativa.
Passo 3
Escrever a combinação linear igual a zero e traduzir em um sistema de equações (componentes).
Procuramos \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}\in\mathbb{R}\) tais que
\[\alpha_{1}(1,1,2)+\alpha_{2}(0,1,3)+\alpha_{3}(0,0,1)=(0,0,0).
Igualando componente a componente obtemos o sistema
Portanto a única solução do sistema é a solução trivial \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0.
Passo 5
Interpretação do resultado e conclusão pelo método direto.
Como a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial, pelo conceito visto no Passo 2 o conjunto \{u_{1},u_{2},u_{3}\} é linearmente independente.
Passo 6
Verificação alternativa (teste do determinante) — explicação rápida para consolidar a ideia.
Formando a matriz A cujas colunas são u_{1},u_{2},u_{3}: