Seja V=\mathrm{R}^{3}. Verificar quais dos seguintes conjuntos são LI ou LD.
u_{1}=(1,1,2), u_{2}=(0,1,3), u_{3}=(0,0,1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto formado pelos três vetores dados é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). As informações fornecidas são os vetores em \mathbb{R}^{3}:
u_{1}=(1,1,2),\qquad u_{2}=(0,1,3),\qquad u_{3}=(0,0,1).
Portanto a tarefa é decidir se existe alguma combinação linear não trivial
\alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2}+\alpha_{3}u_{3}=0
com coeficientes \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} não todos nulos, ou se a única solução é a trivial \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0.

Passo 2

Definição e ideia de método (explicação didática e prática).
  • Definição: Um conjunto de vetores é linearmente independente (LI) se a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial, isto é, se
\alpha_{1}u_{1}+\alpha_{2}u_{2}+\alpha_{3}u_{3}=0
implica \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0. Caso contrário é linearmente dependente (LD).
  • Métodos práticos em \mathbb{R}^{3} com três vetores:
    1. Montar o sistema obtido da combinação linear igual a zero e resolver (método direto).
    2. Colocar os vetores como colunas de uma matriz A e calcular \det(A): se \det(A)\neq0 então os vetores são LI; se \det(A)=0 então são LD.
      Vou usar o método direto (resolver a combinação linear) porque é bem didático e rápido aqui; depois mostro brevemente o teste do determinante como alternativa.

Passo 3

Escrever a combinação linear igual a zero e traduzir em um sistema de equações (componentes).
Procuramos \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}\in\mathbb{R}\) tais que \[\alpha_{1}(1,1,2)+\alpha_{2}(0,1,3)+\alpha_{3}(0,0,1)=(0,0,0).
Igualando componente a componente obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha_{1}=0,\\[4pt] \alpha_{1}+\alpha_{2}=0,\\[4pt] 2\alpha_{1}+3\alpha_{2}+\alpha_{3}=0. \end{cases}
Expliquei como obtive cada equação: a primeira componente dá (\alpha_{1}\cdot 1+\alpha_{2}\cdot 0+\alpha_{3}\cdot 0=0], etc.]

Passo 4

Resolver o sistema passo a passo, sem pular etapas.
  • Da primeira equação temos diretamente
\alpha_{1}=0.
  • Substituindo \alpha_{1}=0 na segunda equação \alpha_{1}+\alpha_{2}=0 resulta em
0+\alpha_{2}=0\quad\Rightarrow\quad \alpha_{2}=0.
  • Substituindo \alpha_{1}=0 e \alpha_{2}=0 na terceira equação 2\alpha_{1}+3\alpha_{2}+\alpha_{3}=0 resulta em
0+0+\alpha_{3}=0\quad\Rightarrow\quad \alpha_{3}=0.
Portanto a única solução do sistema é a solução trivial \alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}=0.

Passo 5

Interpretação do resultado e conclusão pelo método direto.
Como a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial, pelo conceito visto no Passo 2 o conjunto \{u_{1},u_{2},u_{3}\} é linearmente independente.

Passo 6

Verificação alternativa (teste do determinante) — explicação rápida para consolidar a ideia.
Formando a matriz A cujas colunas são u_{1},u_{2},u_{3}:
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 0\\[4pt] 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}.
O determinante desta matriz pode ser calculado expandindo pela primeira linha ou percebendo que é triangular superior após eliminar zeros: aqui
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]3 & 1\end{pmatrix}-0+\;0 =1\cdot(1\cdot1-0\cdot3)=1\neq0.
Se \det(A)\neq0, então as colunas de A são linearmente independentes. Isso confirma o resultado obtido no método direto.]

Resposta

O conjunto \{u_{1},u_{2},u_{3}\} é linearmente independente.

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