A pergunta é: o conjunto \{u_1,u_2,u_3\} é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD)?\n
Lista das informações relevantes:
Os três vetores em \mathbb{R}^3 dados acima.
Precisa-se verificar LI/LD do conjunto formado por esses três vetores.
Passo 2
O que significa ser linearmente independente/dependente (explicando devagar, como se estivéssemos estudando juntos):
O conjunto \{u_1,u_2,u_3\} é linearmente dependente se existem escalares, não todos nulos, c_1,c_2,c_3 tais que
c_1 u_1 + c_2 u_2 + c_3 u_3 = 0.
É linearmente independente se a única solução desse sistema homogêneo é c_1=c_2=c_3=0 (chamada solução trivial).
Método escolhido: resolver o sistema homogêneo por eliminação (Gauss) formando a matriz cujas colunas são os vetores u_1,u_2,u_3. Esse é um método básico e direto para a prova porque aqui temos exatamente 3 vetores em \mathbb{R}^3.
Passo 3
Escrever a combinação linear igual a zero e converter para forma matricial. Procuramos c_1,c_2,c_3 tais que
Vamos reduzir a matriz A para encontrar as relações entre c_1,c_2,c_3.]
Passo 4
Aplicando eliminação de Gauss (mostrando cada operação e por que é permitida — somar múltiplos de uma linha em outra não altera o conjunto de soluções do sistema homogêneo):
Agora a matriz está em forma triangular superior.]
Passo 5
Interpretação da forma triangular:
Há pivôs (entradas não nulas na diagonal) em todas as três linhas: 1, 3 e 4.
Isso implica que a matriz A tem posto \operatorname{rank}(A)=3, ou seja, posto máximo em \mathbb{R}^3.
Outra observação útil (curioso e prático na prova): como só usamos operações do tipo soma de múltiplos de linhas, o determinante se conserva; o determinante da matriz triangular obtida é 1\cdot 3\cdot 4 = 12, diferente de zero. Determinante não nulo também garante que as colunas são linearmente independentes.
Passo 6
Resolver o sistema homogêneo por substituição regressiva (mostrando que só existe a solução trivial):
A partir da última linha triangularizada, corresponde à equação
Portanto a única solução é c_1=c_2=c_3=0, a solução trivial.
Passo 7
Conclusão didática e motivadora: como o sistema homogêneo só admite a solução trivial, o conjunto \{u_1,u_2,u_3\} é linearmente independente. Em linguagem prática de prova: posto da matriz é 3 (ou determinante 12\neq 0), logo as colunas são LI. Bom trabalho — veja como o procedimento é direto: montar A, reduzir, checar pivôs e concluir!