Seja V=\mathrm{R}^{3}. Verificar quais dos seguintes conjuntos são LI ou LD.
u_{1}=(1,-1,-2), u_{2}=(2,1,1), u_{3}=(3,0,3)

Passo 1

O enunciado fornece três vetores em \mathbb{R}^3:
u_{1}=(1,-1,-2),\qquad u_{2}=(2,1,1),\qquad u_{3}=(3,0,3).
A pergunta é: o conjunto \{u_1,u_2,u_3\} é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD)?\n
Lista das informações relevantes:
  • Os três vetores em \mathbb{R}^3 dados acima.
  • Precisa-se verificar LI/LD do conjunto formado por esses três vetores.

Passo 2

O que significa ser linearmente independente/dependente (explicando devagar, como se estivéssemos estudando juntos):
  • O conjunto \{u_1,u_2,u_3\} é linearmente dependente se existem escalares, não todos nulos, c_1,c_2,c_3 tais que
c_1 u_1 + c_2 u_2 + c_3 u_3 = 0.
  • É linearmente independente se a única solução desse sistema homogêneo é c_1=c_2=c_3=0 (chamada solução trivial).
    Método escolhido: resolver o sistema homogêneo por eliminação (Gauss) formando a matriz cujas colunas são os vetores u_1,u_2,u_3. Esse é um método básico e direto para a prova porque aqui temos exatamente 3 vetores em \mathbb{R}^3.

Passo 3

Escrever a combinação linear igual a zero e converter para forma matricial. Procuramos c_1,c_2,c_3 tais que
c_1\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ -2\end{pmatrix} + c_2\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} + c_3\begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Em forma matricial \,A c = 0, com
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] -1 & 1 & 0\\[4pt] -2 & 1 & 3 \end{pmatrix},\qquad c=\begin{pmatrix}c_1\\[4pt]c_2\\[4pt]c_3\end{pmatrix}.
Vamos reduzir a matriz A para encontrar as relações entre c_1,c_2,c_3.]

Passo 4

Aplicando eliminação de Gauss (mostrando cada operação e por que é permitida — somar múltiplos de uma linha em outra não altera o conjunto de soluções do sistema homogêneo):
Matriz inicial:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] -1 & 1 & 0\\[4pt] -2 & 1 & 3 \end{pmatrix}
Fazer R_2 \leftarrow R_2 + R_1 e R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 3 & 3\\[4pt] 0 & 5 & 9 \end{pmatrix}
(essas operações são permitidas e não mudam o espaço nulo da matriz).
Agora eliminar o elemento 5 em R_3 usando R_2: fazer R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{5}{3}R_2:
\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\[4pt] 0 & 3 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}
Agora a matriz está em forma triangular superior.]

Passo 5

Interpretação da forma triangular:
  • Há pivôs (entradas não nulas na diagonal) em todas as três linhas: 1, 3 e 4.
  • Isso implica que a matriz A tem posto \operatorname{rank}(A)=3, ou seja, posto máximo em \mathbb{R}^3.
    Outra observação útil (curioso e prático na prova): como só usamos operações do tipo soma de múltiplos de linhas, o determinante se conserva; o determinante da matriz triangular obtida é 1\cdot 3\cdot 4 = 12, diferente de zero. Determinante não nulo também garante que as colunas são linearmente independentes.

Passo 6

Resolver o sistema homogêneo por substituição regressiva (mostrando que só existe a solução trivial):
A partir da última linha triangularizada, corresponde à equação
4 c_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad c_3 = 0.
Da segunda linha:
3 c_2 + 3 c_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad 3 c_2 + 3\cdot 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad c_2 = 0.
Da primeira linha:
c_1 + 2 c_2 + 3 c_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad c_1 + 2\cdot 0 + 3\cdot 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad c_1 = 0.
Portanto a única solução é c_1=c_2=c_3=0, a solução trivial.

Passo 7

Conclusão didática e motivadora: como o sistema homogêneo só admite a solução trivial, o conjunto \{u_1,u_2,u_3\} é linearmente independente. Em linguagem prática de prova: posto da matriz é 3 (ou determinante 12\neq 0), logo as colunas são LI. Bom trabalho — veja como o procedimento é direto: montar A, reduzir, checar pivôs e concluir!

Resposta

u_1,u_2,u_3 são linearmente independentes.

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