Seja V=\mathrm{R}^{3}. Verificar quais dos seguintes conjuntos são LI ou LD.
u_{1}=(1,2,2), u_{2}=(2,1,1), u_{3}=(4,2,2)

Passo 1

O enunciado dá os vetores em \mathbb{R}^3:
u_{1}=(1,2,2),\qquad u_{2}=(2,1,1),\qquad u_{3}=(4,2,2).
O que se pede: verificar se o conjunto \{u_{1},u_{2},u_{3}\} é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Vou também, para clarificar, verificar os pares \{u_{1},u_{2}\}, \{u_{1},u_{3}\} e \{u_{2},u_{3}\}.

Passo 2

Lembrete do conceito (explicado devagarinho):
  • Um conjunto de vetores é linearmente dependente (LD) se existe uma combinação linear não trivial que dá o vetor zero; isto é, existem escalares, nem todos zero, tais que
\lambda_{1}u_{1}+\lambda_{2}u_{2}+\lambda_{3}u_{3}=0.
  • É linearmente independente (LI) se a única combinação linear que dá zero é a trivial, isto é, \lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=0.
Para pares de vetores \{v,w\} a verificação é simples: são LD exatamente quando um é múltiplo escalar do outro; caso contrário são LI.

Passo 3

Procuro relações óbvias entre os vetores (truque prático antes de eliminação). Vou verificar se algum vetor é múltiplo de outro:
  • Comparei u_{3} com u_{2}. Multiplicando u_{2} por 2:
2u_{2}=2\cdot(2,1,1)=(4,2,2).
Esse resultado é exatamente u_{3}. Portanto encontrei uma relação direta:
u_{3}-2u_{2}=0.
Isto é uma combinação linear não trivial (coeficientes \lambda_{1}=0,\\ \lambda_{2}=-2,\\ \lambda_{3}=1) que produz o vetor zero.

Passo 4

Conclusão imediata a partir do passo anterior: como existe uma combinação linear não trivial que anula os vetores, o conjunto \{u_{1},u_{2},u_{3}\} é linearmente dependente (LD). Explicação em palavras: u_{3} é exatamente 2 vezes u_{2}, logo não acrescenta nova direção ao conjunto.

Passo 5

Agora verificar o par \{u_{1},u_{2}\}. Para mostrar LI para dois vetores, mostro que não há escalar \alpha tal que u_{1}=\alpha u_{2}. Se fosse múltiplo, teria
(1,2,2)=\alpha(2,1,1)=(2\alpha,\alpha,\alpha).
Comparando coordenadas dá o sistema
2\alpha=1,\qquad \alpha=2,\qquad \alpha=2.
Da primeira equação \alpha=\tfrac{1}{2}, mas da segunda/terceira \alpha=2. Contradição. Portanto não existe \alpha que satisfaz todas as coordenadas; assim u_{1} e u_{2} não são colineares e o par \{u_{1},u_{2}\} é linearmente independente (LI).

Passo 6

Verificar o par \{u_{2},u_{3}\}. Como já vimos no passo 3, u_{3}=2u_{2}. Isso significa que u_{3} é múltiplo escalar de u_{2}, logo o par \{u_{2},u_{3}\} é linearmente dependente (LD).

Passo 7

Verificar o par \{u_{1},u_{3}\}. Testo se existe \beta tal que u_{3}=\beta u_{1}. Isto daria
(4,2,2)=\beta(1,2,2)=(\beta,2\beta,2\beta).
Comparando coordenadas:
\beta=4,\qquad 2\beta=2,\qquad 2\beta=2.
Das duas últimas obtemos \beta=1, da primeira \beta=4. Contradição. Portanto não há \beta que funcione, logo u_{1} e u_{3} não são colineares e o par \{u_{1},u_{3}\} é LI.

Passo 8

Resumo interpretativo e dica prática para prova: se você consegue escrever um vetor como combinação dos outros (como aqui u_{3}=2u_{2}), então o conjunto todo é LD e não precisa fazer eliminação. Para pares, basta checar se um é múltiplo do outro. No caso, só o vetor u_{3} está “repetido” em direção (é múltiplo de u_{2}), por isso só os pares que envolvem u_{2} e u_{3} são LD.

Resposta

\{u_{1},u_{2},u_{3}\} é LD.
\{u_{1},u_{2}\} é LI.
\{u_{1},u_{3}\} é LI.
\{u_{2},u_{3}\} é LD.

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