Seja
. Verificar quais dos seguintes conjuntos são LI ou LD.
Passo 1
O enunciado dá os vetores em
:
O que se pede: verificar se o conjunto
é linearmente independente (LI) ou linearmente dependente (LD). Vou também, para clarificar, verificar os pares
,
e
.
Passo 2
Lembrete do conceito (explicado devagarinho):
- Um conjunto de vetores é linearmente dependente (LD) se existe uma combinação linear não trivial que dá o vetor zero; isto é, existem escalares, nem todos zero, tais que
- É linearmente independente (LI) se a única combinação linear que dá zero é a trivial, isto é,
.
Para pares de vetores
a verificação é simples: são LD exatamente quando um é múltiplo escalar do outro; caso contrário são LI.
Passo 3
Procuro relações óbvias entre os vetores (truque prático antes de eliminação). Vou verificar se algum vetor é múltiplo de outro:
- Comparei
com . Multiplicando por :
Esse resultado é exatamente
. Portanto encontrei uma relação direta:
Isto é uma combinação linear não trivial (coeficientes
) que produz o vetor zero.
Passo 4
Conclusão imediata a partir do passo anterior: como existe uma combinação linear não trivial que anula os vetores, o conjunto
é linearmente dependente (LD). Explicação em palavras:
é exatamente
vezes
, logo não acrescenta nova direção ao conjunto.
Passo 5
Agora verificar o par
. Para mostrar LI para dois vetores, mostro que não há escalar
tal que
. Se fosse múltiplo, teria
Comparando coordenadas dá o sistema
Da primeira equação
, mas da segunda/terceira
. Contradição. Portanto não existe
que satisfaz todas as coordenadas; assim
e
não são colineares e o par
é linearmente independente (LI).
Passo 6
Verificar o par
. Como já vimos no passo 3,
. Isso significa que
é múltiplo escalar de
, logo o par
é linearmente dependente (LD).
Passo 7
Verificar o par
. Testo se existe
tal que
. Isto daria
Comparando coordenadas:
Das duas últimas obtemos
, da primeira
. Contradição. Portanto não há
que funcione, logo
e
não são colineares e o par
é LI.
Passo 8
Resumo interpretativo e dica prática para prova: se você consegue escrever um vetor como combinação dos outros (como aqui
), então o conjunto todo é LD e não precisa fazer eliminação. Para pares, basta checar se um é múltiplo do outro. No caso, só o vetor
está “repetido” em direção (é múltiplo de
), por isso só os pares que envolvem
e
são LD.