Seja v neq 0. Mostre que v|v| é um vetor unitário (chamado de versor de v ).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo: Precisamos mostrar que o vetor v|v| é um vetor unitário, ou seja, que ele tem comprimento igual a 1. Para isso, vamos precisar entender o que é a norma de um vetor e como normalizar um vetor para torná-lo unitário.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a norma de um vetor v. A norma, denotada por |v|, é basicamente o comprimento ou a magnitude do vetor. Se v tem componentes (v1, v2, dots, vn), então a norma é calculada assim:
|v| = raizv1^2 + v2^2 + dots + vn^2

Passo 3

Agora, um vetor unitário é um vetor que possui norma igual a 1. Para transformar um vetor qualquer em um vetor unitário, a gente divide cada componente do vetor pela sua própria norma. Assim, o vetor v|v| deve ter norma igual a 1.

Passo 4

Vamos calcular a norma do vetor v|v| para confirmar se realmente é igual a 1:
|v|v|| = |v||v| = 1
Aqui, usamos a propriedade de que a norma de um escalar multiplicado por um vetor é o valor absoluto do escalar vezes a norma do vetor. No nosso caso, o escalar é 1|v|, e ao multiplicar, as normas se cancelam, restando 1.

Resposta

Assim, mostramos que v|v| é realmente um vetor unitário.

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