Verifique se são subespaços vetoriais:
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial. Informações dadas:
- Um elemento genérico de
é a matriz com . - Não há outras restrições no enunciado.]
Passo 2
O que significa ser subespaço vetorial (explicando devagar, como num esquema para a prova).
- Trabalhamos no espaço vetorial das matrizes
com entradas reais, que denotamos por . - Um subconjunto
é subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz três propriedades essenciais: -
não é vazio e contém o vetor zero (a matriz zero) — isto é, . -
é fechado sob soma: se e , então . -
é fechado sob multiplicação por escalares: se e , então .
-
- Observação prática: basta encontrar uma destas propriedades que falhe para concluir que o conjunto não é subespaço.
Passo 3
Verificação da propriedade do vetor zero (método direto e rápido).
- Suponha que exista
tal que
- Comparando entradas, da posição
obtém-se , que é uma contradição. - Conclusão: a matriz zero não pertence a
. Portanto a propriedade 1 falha.]
Passo 4
Verificação das demais propriedades para reforçar o entendimento (não é necessário se já falhou a anterior, mas é didático ver outros contraexemplos).
- Fechamento por soma: tome duas matrizes quaisquer em
,
A soma é
Para pertencer a
a posição
dessa soma teria de ser
, mas é
. Logo nem sempre
: fechamento por soma também falha.
- Fechamento por escalares: tome
como acima e escalar . Então
que já vimos que não pertence a
. Portanto fechamento por escalares falha também (qualquer
que altere a entrada
fará essa entrada deixar de ser
).]
Passo 5
Interpretação final e motivação para a prova (curto e motivador).
- Como
não contém a matriz zero, a condição mínima para ser subespaço não é satisfeita; além disso, o conjunto falha em permanecer fechado sob soma e sob multiplicação por escalares. - Resultado prático que vale na prova: sempre que um conjunto especifica uma entrada fixa diferente de zero (aqui a entrada
é sempre ), esse conjunto não pode ser subespaço, porque o zero teria entrada naquela posição.
Resposta
Não.
não é subespaço vetorial de
.