Verifique se são subespaços vetoriais:
A=\{[a 1 ; a b] ; a, b \in \mathbb{R}\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
A=\left\{\begin{pmatrix}a & 1\\[4pt] a & b\end{pmatrix}\;:\;a,b\in\mathbb{R}\right\}
é um subespaço vetorial. Informações dadas:
  • Um elemento genérico de A é a matriz \begin{pmatrix}a & 1\\\ a & b\end{pmatrix} com a,b\in\mathbb{R}.
  • Não há outras restrições no enunciado.]

Passo 2

O que significa ser subespaço vetorial (explicando devagar, como num esquema para a prova).
  • Trabalhamos no espaço vetorial das matrizes 2\times2 com entradas reais, que denotamos por \,M_{2\times2}(\mathbb{R}).
  • Um subconjunto W\subseteq M_{2\times2}(\mathbb{R}) é subespaço vetorial se, e somente se, satisfaz três propriedades essenciais:
    1. W não é vazio e contém o vetor zero (a matriz zero) — isto é, \mathbf{0}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}\in W.
    2. W é fechado sob soma: se X\in W e Y\in W, então X+Y\in W.
    3. W é fechado sob multiplicação por escalares: se X\in W e \lambda\in\mathbb{R}, então \lambda X\in W.
  • Observação prática: basta encontrar uma destas propriedades que falhe para concluir que o conjunto não é subespaço.

Passo 3

Verificação da propriedade do vetor zero (método direto e rápido).
  • Suponha que exista (a,b)\in\mathbb{R}^2 tal que
\begin{pmatrix}a & 1\\[4pt] a & b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
  • Comparando entradas, da posição (1,2) obtém-se 1=0, que é uma contradição.
  • Conclusão: a matriz zero não pertence a A. Portanto a propriedade 1 falha.]

Passo 4

Verificação das demais propriedades para reforçar o entendimento (não é necessário se já falhou a anterior, mas é didático ver outros contraexemplos).
  • Fechamento por soma: tome duas matrizes quaisquer em A,
X=\begin{pmatrix}a_1 & 1\\[4pt] a_1 & b_1\end{pmatrix},\qquad Y=\begin{pmatrix}a_2 & 1\\[4pt] a_2 & b_2\end{pmatrix}.
A soma é
X+Y=\begin{pmatrix}a_1+a_2 & 1+1\\[4pt] a_1+a_2 & b_1+b_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a_1+a_2 & 2\\[4pt] a_1+a_2 & b_1+b_2\end{pmatrix}.
Para pertencer a A a posição (1,2) dessa soma teria de ser 1, mas é 2. Logo nem sempre X+Y\in A: fechamento por soma também falha.
  • Fechamento por escalares: tome X\in A como acima e escalar \lambda=0. Então
0\cdot X=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
que já vimos que não pertence a A. Portanto fechamento por escalares falha também (qualquer \lambda que altere a entrada (1,2) fará essa entrada deixar de ser 1).]

Passo 5

Interpretação final e motivação para a prova (curto e motivador).
  • Como A não contém a matriz zero, a condição mínima para ser subespaço não é satisfeita; além disso, o conjunto falha em permanecer fechado sob soma e sob multiplicação por escalares.
  • Resultado prático que vale na prova: sempre que um conjunto especifica uma entrada fixa diferente de zero (aqui a entrada (1,2) é sempre 1), esse conjunto não pode ser subespaço, porque o zero teria entrada 0 naquela posição.

Resposta

Não. A não é subespaço vetorial de M_{2\times2}(\mathbb{R}).

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