Seja V o subespaço gerado pelos vetores listados. (a) Encontre uma base para V, (b) Dê a dimensz̃o de V, (c) Complete a base encontrada para obter uma base do espaço total.
Em \mathbb{R}^{4}: v_{1}=(1,0,1,0), v_{2}=(0,1,0,1), v_{3}=(1,1,1,1).

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^{4} e pede três coisas:
  • (a) encontrar uma base para V=\mathrm{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\};
  • (b) dar a dimensão de V;
  • (c) completar a base encontrada para obter uma base de \mathbb{R}^{4}.
Os vetores fornecidos são
v_{1}=(1,0,1,0),\qquad v_{2}=(0,1,0,1),\qquad v_{3}=(1,1,1,1).
Nada mais foi dado.

Passo 2

Primeiro vamos verificar se os vetores são linearmente independentes ou não. Conceito rápido e útil: vetores u_1,u_2,u_3 são linearmente dependentes se existem escalares não todos zero a,b,c tais que
a u_1 + b u_2 + c u_3 = 0.
Uma maneira prática é tentar escrever um vetor como combinação linear dos outros. Vou testar se v_{3} é combinação de v_{1} e v_{2}. Procuro escalares \alpha,\beta tais que
\alpha v_{1} + \beta v_{2} = v_{3}.
Escrevendo as componentes:
\alpha(1,0,1,0) + \beta(0,1,0,1) = (\alpha,\beta,\alpha,\beta).
Queremos que isto seja igual a v_{3}=(1,1,1,1). Igualando componente a componente obtemos
\alpha = 1,\qquad \beta = 1,\qquad \alpha = 1,\qquad \beta = 1.
Essas equações são consistentes e dão \alpha=1,\\ \beta=1. Portanto
v_{3} = 1\cdot v_{1} + 1\cdot v_{2} = v_{1}+v_{2}.
Conseqüência prática: v_{3} é combinação linear de v_{1} e v_{2}, logo os três vetores são linearmente dependentes e podemos eliminar v_{3} sem perder o espaço gerado.

Passo 3

Agora preciso checar se v_{1} e v_{2} são linearmente independentes entre si. Para dois vetores isso é simples: c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}=0 implica, escrevendo componentes,
(c_{1},c_{2},c_{1},c_{2})=(0,0,0,0).
Portanto
c_{1}=0,\qquad c_{2}=0.
Só a solução trivial existe, logo v_{1} e v_{2} são linearmente independentes. Como v_{3} fica dependente deles, um conjunto gerador mínimo (uma base de V) é
\{v_{1},v_{2}\}.
Explicando o porquê disso ser uma base: uma base precisa satisfazer duas coisas — (i) linearmente independente, e (ii) gerar o subespaço. Já vimos (i). Para (ii), qualquer combinação a v_{1}+b v_{2} produz vetores da forma (a,b,a,b); e como v_{3}=v_{1}+v_{2} está nessa forma, toda combinação de v_{1},v_{2},v_{3} também está em \mathrm{span}\{v_{1},v_{2}\}. Assim \mathrm{span}\{v_{1},v_{2}\}=V.

Passo 4

A dimensão de V é o número de vetores em qualquer base de V. Encontramos a base \{v_{1},v_{2}\}, que tem dois vetores; portanto
\dim(V)=2.

Passo 5

Falta completar a base de V para uma base de \mathbb{R}^{4}. Procedimento prático: adicionar vetores de \mathbb{R}^{4} que não pertençam a V até termos 4 vetores linearmente independentes. Uma escolha natural são os dois primeiros vetores da base canônica
e_{1}=(1,0,0,0),\qquad e_{2}=(0,1,0,0).
Vou verificar que \{v_{1},v_{2},e_{1},e_{2}\} é um conjunto linearmente independente. Considere escalares a,b,c,d tais que
a v_{1} + b v_{2} + c e_{1} + d e_{2} = 0.
Escrevendo componentes:
a(1,0,1,0) + b(0,1,0,1) + c(1,0,0,0) + d(0,1,0,0) = (a+c,\;b+d,\;a,\;b) = (0,0,0,0).
Isto gera o sistema
a+c=0,\qquad b+d=0,\qquad a=0,\qquad b=0.
Das últimas equações vem a=0 e b=0; então c=0 e d=0. Assim a única solução é trivial, provando independência linear. Como agora temos 4 vetores independentes em \mathbb{R}^{4}, eles formam uma base de \mathbb{R}^{4}.
Observação prática: existem muitas escolhas possíveis para completar a base (qualquer par de vetores que não esteja em V e que sejam independentes entre si e com v_{1},v_{2} serve). A escolha de e_{1},e_{2} é simples e suficiente.

Resposta

(a) \{\,v_{1},v_{2}\,\}=\{(1,0,1,0),(0,1,0,1)\}
(b) \dim(V)=2
(c) Uma base de \mathbb{R}^{4} que completa a base de V é \{v_{1},v_{2},e_{1},e_{2}\}=\{(1,0,1,0),(0,1,0,1),(1,0,0,0),(0,1,0,0)\}

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