Seja
o subespaço gerado pelos vetores listados. (a) Encontre uma base para
, (b) Dê a dimensz̃o de
, (c) Complete a base encontrada para obter uma base do espaço total.
Em
.
Em
Passo 1
O enunciado dá três vetores em
e pede três coisas:
- (a) encontrar uma base para
; - (b) dar a dimensão de
; - (c) completar a base encontrada para obter uma base de
.
Os vetores fornecidos são
Nada mais foi dado.
Passo 2
Primeiro vamos verificar se os vetores são linearmente independentes ou não. Conceito rápido e útil: vetores
são linearmente dependentes se existem escalares não todos zero
tais que
Uma maneira prática é tentar escrever um vetor como combinação linear dos outros. Vou testar se
é combinação de
e
. Procuro escalares
tais que
Escrevendo as componentes:
Queremos que isto seja igual a
. Igualando componente a componente obtemos
Essas equações são consistentes e dão
. Portanto
Conseqüência prática:
é combinação linear de
e
, logo os três vetores são linearmente dependentes e podemos eliminar
sem perder o espaço gerado.
Passo 3
Agora preciso checar se
e
são linearmente independentes entre si. Para dois vetores isso é simples:
implica, escrevendo componentes,
Portanto
Só a solução trivial existe, logo
e
são linearmente independentes. Como
fica dependente deles, um conjunto gerador mínimo (uma base de
) é
Explicando o porquê disso ser uma base: uma base precisa satisfazer duas coisas — (i) linearmente independente, e (ii) gerar o subespaço. Já vimos (i). Para (ii), qualquer combinação
produz vetores da forma
; e como
está nessa forma, toda combinação de
também está em
. Assim
.
Passo 4
A dimensão de
é o número de vetores em qualquer base de
. Encontramos a base
, que tem dois vetores; portanto
Passo 5
Falta completar a base de
para uma base de
. Procedimento prático: adicionar vetores de
que não pertençam a
até termos 4 vetores linearmente independentes. Uma escolha natural são os dois primeiros vetores da base canônica
Vou verificar que
é um conjunto linearmente independente. Considere escalares
tais que
Escrevendo componentes:
Isto gera o sistema
Das últimas equações vem
e
; então
e
. Assim a única solução é trivial, provando independência linear. Como agora temos 4 vetores independentes em
, eles formam uma base de
.
Observação prática: existem muitas escolhas possíveis para completar a base (qualquer par de vetores que não esteja em
e que sejam independentes entre si e com
serve). A escolha de
é simples e suficiente.
Resposta
(a)
(b)
(c) Uma base de que completa a base de
é
(b)
(c) Uma base de