Seja V o subespaço gerado pelos vetores listados. (a) Encontre uma base para V, (b) Dê a dimensz̃o de V, (c) Complete a base encontrada para obter uma base do espaço total.
Em \mathbb{R}^{3}: v_{1}=(1,-1,0), v_{2}=(2,-2,0), v_{3}=(0,0,1).

Passo 1

O enunciado pede três coisas para o subespaço V\subset\mathbb{R}^3 gerado pelos vetores dados:
  • (a) Encontrar uma base para V.
  • (b) Determinar a dimensão de V.
  • (c) Completar a base encontrada para obter uma base do espaço total \mathbb{R}^3.
Informações fornecidas (peguei estes vetores do enunciado):
v_{1}=(1,-1,0),\qquad v_{2}=(2,-2,0),\qquad v_{3}=(0,0,1).

Passo 2

Primeiro vamos ver se algum dos vetores é combinação linear dos outros (ou seja, se são linearmente dependentes). Uma maneira direta é verificar se existe escalar c tal que
v_{2}=c\,v_{1}.
Calculemos c comparando coordenadas: da primeira coordenada temos 2=c\cdot1, logo c=2. Verificando a segunda coordenada: -2=2\cdot(-1) é verdadeiro. A terceira coordenada é 0=2\cdot0 também verdadeiro. Portanto
v_{2}=2\,v_{1}.
Isto mostra que v_{2} é redundante: não acrescenta dimensão ao espaço gerado por v_{1} e v_{3}.

Passo 3

Agora precisamos verificar se v_{1}\) e \(v_{3}\) são linearmente independentes. Para isso, considere a combinação linear nula \[a\,v_{1}+b\,v_{3}=(0,0,0),
ou seja
a(1,-1,0)+b(0,0,1)=(0,0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada obtemos o sistema
\begin{cases} a = 0,\\[4pt] - a = 0,\\[4pt] b = 0. \end{cases}
Das duas primeiras equações já vem a=0\], e da terceira \(b=0. Como a única solução é a=b=0, os vetores v_{1} e v_{3} são linearmente independentes.]

Passo 4

Como v_{2} é múltiplo de v_{1}, ele não é necessário para gerar V. Já que v_{1} e v_{3} são independentes, elas geram V. Portanto uma base de V é
\{v_{1},v_{3}\}.

Passo 5

A dimensão de V é o número de vetores em qualquer base de V. Como encontramos a base \{v_{1},v_{3}\} com dois vetores, temos
\dim(V)=2.

Passo 6

Para completar a base de V\) a uma base de \(\mathbb{R}^3\) precisamos adicionar um vetor que não esteja em \(\operatorname{span}\{v_{1},v_{3}\}\). Uma escolha simples é \[e_{2}=(0,1,0).
Devemos verificar que e_{2} não é combinação linear de v_{1} e v_{3}. Suponha que existam a,b tais que
a\,v_{1}+b\,v_{3}=e_{2}.
Escrevendo coordenadas:
a(1,-1,0)+b(0,0,1)=(0,1,0)
produz o sistema
\begin{cases} a = 0,\\[4pt] - a = 1,\\[4pt] b = 0. \end{cases}
Da primeira equação a=0\], mas da segunda viria \(-a=1 contradizendo a=0. Logo não existe tal combinação, então e_{2}\notin\operatorname{span}\{v_{1},v_{3}\}. Assim os três vetores \{v_{1},v_{3},e_{2}\} são linearmente independentes em \mathbb{R}^3 e, sendo três vetores independentes em \mathbb{R}^3, formam uma base do espaço total.]

Resposta

(a) \{v_{1},v_{3}\}=\{(1,-1,0),(0,0,1)\}
(b) \dim(V)=2
(c) Uma base de \mathbb{R}^{3} obtida completando é \{v_{1},v_{3},(0,1,0)\}=\{(1,-1,0),(0,0,1),(0,1,0)\}

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