Seja V o subespaço gerado pelos vetores listados. (a) Encontre uma base para V, (b) Dê a dimensz̃o de V, (c) Complete a base encontrada para obter uma base do espaço total.
\boldsymbol{E} \mathbf{m} \mathbb{R}^{3}: v_{1}=(1,2,3), v_{2}=(2,4,6), v_{3}=(0,1,1).

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • (a) Encontrar uma base para o subespaço V gerado pelos vetores dados.
  • (b) Determinar a dimensão de V.
  • (c) Completar a base encontrada para obter uma base do espaço total \mathbb{R}^3.
As informações fornecidas são os vetores em \mathbb{R}^3:
v_1=(1,2,3),\qquad v_2=(2,4,6),\qquad v_3=(0,1,1).

Passo 2

Entender o que significa “subespaço gerado” e “base” (mini-aula rápida e necessária).
  • O subespaço gerado por \{v_1,v_2,v_3\} é o conjunto de todas as combinações lineares
\alpha v_1+\beta v_2+\gamma v_3,\quad \alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{R}.
  • Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que (i) gera o subespaço e (ii) é linearmente independente.
  • A dimensão é o número de vetores de qualquer base desse subespaço.
Para encontrar uma base queremos eliminar vetores redundantes (que são combinação linear dos outros).

Passo 3

Verificar relações de dependência entre v_1 e v_2.
Observando as coordenadas,
v_2=(2,4,6)=2\cdot(1,2,3)=2v_1.
Portanto v_2 é múltiplo de v_1 e não acrescenta nova direção ao gerador. Conclusão: v_2 é linearmente dependente de v_1, então podemos ignorá-lo ao formar uma base.

Passo 4

Verificar se v_3 está no span de v_1 (isto é, se é múltiplo de v_1).
Procuramos a tal que
a v_1 = v_3.
Isto é
a(1,2,3)=(0,1,1).
Das primeiras coordenadas vem a=0. Com a=0 as outras coordenadas seriam 0 e 0, mas v_3 tem segunda coordenada 1. Logo não existe a tal que a v_1=v_3. Portanto v_3 não pertence ao span \{v_1\}.

Passo 5

Concluir independência de \{v_1,v_3\}\). Para checar independência, verifiquemos se a combinação linear nula \[\alpha v_1+\beta v_3 = 0
tem apenas a solução trivial \alpha=\beta=0. Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} \alpha + 0\beta = 0,\\[4pt] 2\alpha + 1\beta = 0,\\[4pt] 3\alpha + 1\beta = 0. \end{cases}
Da primeira equação vem \alpha=0\]. Substituindo em \(2\alpha+\beta=0 \beta=0. Logo só a solução trivial existe, logo \{v_1,v_3\} é linearmente independente.]

Passo 6

Concluir (a) e (b).
  • Como \{v_1,v_3\} é independente e gera todos os vetores originais (porque v_2=2v_1 e v_3 já está na lista), então \{v_1,v_3\} é uma base de V.
  • O número de vetores da base é 2, então a dimensão de V é 2.

Passo 7

Estratégia para (c) — completar a base até uma base de \mathbb{R}^3.
  • Uma base de \mathbb{R}^3 precisa ter exatamente 3 vetores linearmente independentes.
  • Como já temos dois vetores independentes v_1 e v_3, basta encontrar um vetor w\in\mathbb{R}^3 que não esteja no span \{v_1,v_3\}.
Uma escolha simples e comum é o vetor padrão e_1=(1,0,0). Devemos verificar que e_1 não é combinação linear de v_1 e v_3.

Passo 8

Verificar independência de \{v_1,v_3,e_1\}\). Procuramos \(\alpha,\beta,\gamma\) tais que \[\alpha v_1+\beta v_3+\gamma e_1 = 0.
Escrevendo coordenada a coordenada:
\begin{cases} \alpha + 0\beta + \gamma = 0,\\[4pt] 2\alpha + 1\beta + 0\gamma = 0,\\[4pt] 3\alpha + 1\beta + 0\gamma = 0. \end{cases}
Da segunda e terceira equações subtraindo-se obtém-se (3\alpha+\beta)-(2\alpha+\beta)=\alpha=0\]. Com \(\alpha=0 segue \beta=0 e com \alpha=0 a primeira equação dá \gamma=0. Só a solução trivial existe, logo os três vetores são linearmente independentes. Portanto \{v_1,v_3,e_1\} é uma base de \mathbb{R}^3.]

Passo 9

Observação final e alternativas
  • A base de V não é única; por exemplo \{v_3,v_1\} serve também.
  • Para completar até \mathbb{R}^3 podia-se escolher qualquer vetor que não esteja no plano gerado por v_1 e v_3 (como e_2=(0,1,0) ou e_3=(0,0,1) podem ou não funcionar dependendo do caso; neste problema e_1 funcionou).

Resposta

(a) \{(1,2,3),(0,1,1)\}
(b) \dim(V)=2
(c) Uma base de \mathbb{R}^3 que completa a base de V é \{(1,2,3),(0,1,1),(1,0,0)\}

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