Seja V o subespaço gerado pelos vetores listados. (a) Encontre uma base para V, (b) Dê a dimensz̃o de V, (c) Complete a base encontrada para obter uma base do espaço total. \boldsymbol{E} \mathbf{m} \mathbb{R}^{3}: v_{1}=(1,2,3), v_{2}=(2,4,6), v_{3}=(0,1,1).
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
(a) Encontrar uma base para o subespaço V gerado pelos vetores dados.
(b) Determinar a dimensão de V.
(c) Completar a base encontrada para obter uma base do espaço total \mathbb{R}^3.
As informações fornecidas são os vetores em \mathbb{R}^3:
Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que (i) gera o subespaço e (ii) é linearmente independente.
A dimensão é o número de vetores de qualquer base desse subespaço.
Para encontrar uma base queremos eliminar vetores redundantes (que são combinação linear dos outros).
Passo 3
Verificar relações de dependência entre v_1 e v_2.
Observando as coordenadas,
v_2=(2,4,6)=2\cdot(1,2,3)=2v_1.
Portanto v_2 é múltiplo de v_1 e não acrescenta nova direção ao gerador. Conclusão: v_2 é linearmente dependente de v_1, então podemos ignorá-lo ao formar uma base.
Passo 4
Verificar se v_3 está no span de v_1 (isto é, se é múltiplo de v_1).
Procuramos a tal que
a v_1 = v_3.
Isto é
a(1,2,3)=(0,1,1).
Das primeiras coordenadas vem a=0. Com a=0 as outras coordenadas seriam 0 e 0, mas v_3 tem segunda coordenada 1. Logo não existe a tal que a v_1=v_3. Portanto v_3 não pertence ao span\{v_1\}.
Passo 5
Concluir independência de \{v_1,v_3\}\).
Para checar independência, verifiquemos se a combinação linear nula
\[\alpha v_1+\beta v_3 = 0
tem apenas a solução trivial \alpha=\beta=0. Escrevendo coordenada a coordenada:
Da primeira equação vem \alpha=0\]. Substituindo em \(2\alpha+\beta=0 dá \beta=0. Logo só a solução trivial existe, logo \{v_1,v_3\} é linearmente independente.]
Passo 6
Concluir (a) e (b).
Como \{v_1,v_3\} é independente e gera todos os vetores originais (porque v_2=2v_1 e v_3 já está na lista), então \{v_1,v_3\} é uma base de V.
O número de vetores da base é 2, então a dimensão de V é 2.
Passo 7
Estratégia para (c) — completar a base até uma base de \mathbb{R}^3.
Uma base de \mathbb{R}^3 precisa ter exatamente 3 vetores linearmente independentes.
Como já temos dois vetores independentes v_1 e v_3, basta encontrar um vetor w\in\mathbb{R}^3 que não esteja no span\{v_1,v_3\}.
Uma escolha simples e comum é o vetor padrão e_1=(1,0,0). Devemos verificar que e_1 não é combinação linear de v_1 e v_3.
Passo 8
Verificar independência de \{v_1,v_3,e_1\}\).
Procuramos \(\alpha,\beta,\gamma\) tais que
\[\alpha v_1+\beta v_3+\gamma e_1 = 0.
Da segunda e terceira equações subtraindo-se obtém-se (3\alpha+\beta)-(2\alpha+\beta)=\alpha=0\]. Com \(\alpha=0 segue \beta=0 e com \alpha=0 a primeira equação dá \gamma=0. Só a solução trivial existe, logo os três vetores são linearmente independentes. Portanto \{v_1,v_3,e_1\} é uma base de \mathbb{R}^3.]
Passo 9
Observação final e alternativas
A base de V não é única; por exemplo \{v_3,v_1\} serve também.
Para completar até \mathbb{R}^3 podia-se escolher qualquer vetor que não esteja no plano gerado por v_1 e v_3 (como e_2=(0,1,0) ou e_3=(0,0,1) podem ou não funcionar dependendo do caso; neste problema e_1 funcionou).
Resposta
(a) \{(1,2,3),(0,1,1)\}
(b) \dim(V)=2
(c) Uma base de \mathbb{R}^3 que completa a base de V é \{(1,2,3),(0,1,1),(1,0,0)\}