Seja V o subespaço gerado pelos vetores listados. (a) Encontre uma base para V, (b) Dê a dimensz̃o de V, (c) Complete a base encontrada para obter uma base do espaço total.
\boldsymbol{E} \mathbf{m} \mathbb{R}^{3}: v_{1}=(1,1,1), v_{2}=(1,2,3), v_{3}=(2,3,4).

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores em \mathbb{R}^{3}:
v_{1}=(1,1,1),\qquad v_{2}=(1,2,3),\qquad v_{3}=(2,3,4).
As perguntas são:
  • (a) Encontrar uma base para o subespaço V=\mathrm{span}\{v_{1},v_{2},v_{3}\}.
  • (b) Determinar a dimensão de V.
  • (c) Completar a base encontrada para obter uma base de \mathbb{R}^{3}.
Vou listar e usar todas as informações que o enunciado deu: os três vetores acima geram V. A resolução começa agora.

Passo 2

Explicando o que vamos fazer (passo-a-passo didático).
  • Um conjunto de vetores gera V se todo vetor de V pode ser escrito como combinação linear desses vetores. Escrever V=\mathrm{span}\{v_1,v_2,v_3\} significa exatamente isso.
  • Uma base de V é um subconjunto de vetores que (i) gera V e (ii) é linearmente independente. Linearmente independente significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes iguais a zero).
  • Para obter uma base a partir de uma família geradora, procuramos relações lineares entre os geradores; vetores que são combinações lineares dos outros podem ser removidos. Vou procurar uma relação entre v_{1},v_{2},v_{3}.

Passo 3

Vou testar combinações simples para ver se algum dos vetores é combinação linear dos outros. Calculo v_{1}+v_{2}:
v_{1}+v_{2}=(1,1,1)+(1,2,3)=(1+1,\,1+2,\,1+3)=(2,3,4).
Como v_{1}+v_{2}=(2,3,4) e esse é exatamente v_{3}, concluímos a relação linear simples
v_{3}=v_{1}+v_{2}.
Isto mostra que v_{3} é dependente dos outros dois e, portanto, pode ser eliminado do gerador: V=\mathrm{span}\{v_{1},v_{2}\}.

Passo 4

Agora preciso verificar se v_{1} e v_{2} são linearmente independentes (para saber se já formam uma base). Considere a combinação
\alpha v_{1}+\beta v_{2}=(0,0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada:
(\alpha+\beta,\,\alpha+2\beta,\,\alpha+3\beta)=(0,0,0).
Isso dá o sistema de equações
\alpha+\beta=0, \qquad \alpha+2\beta=0, \qquad \alpha+3\beta=0.
Subtraindo a primeira da segunda tem-se (\alpha+2\beta)-(\alpha+\beta)=\beta=0. Com \beta=0 a primeira equação dá \alpha=0. Logo \alpha=\beta=0 é a única solução, portanto v_{1} e v_{2} são linearmente independentes. Como também geram V (porque v_{3} é combinação deles), concluímos que
\{v_{1},v_{2}\}=\{(1,1,1),(1,2,3)\}
é uma base de V.
(Comentário prático: muitas vezes basta encontrar uma relação linear óbvia como v_{3}=v_{1}+v_{2} e então checar independência dos restantes.)

Passo 5

A dimensão de V é o número de vetores em qualquer base de V. Como encontramos a base \{v_{1},v_{2}\} com dois vetores, segue que
\dim(V)=2.

Passo 6

Agora vou completar essa base para uma base de \mathbb{R}^{3}. A ideia é acrescentar um vetor que não esteja no span de \{v_{1},v_{2}\}. Qualquer vetor que não seja combinação linear de v_{1} e v_{2} serve. Uma escolha simples é
u=(0,0,1).
Preciso verificar que u\not\in\mathrm{span}\{v_{1},v_{2}\}. Se existissem \alpha,\beta tais que \alpha v_{1}+\beta v_{2}=u, teríamos
(\alpha+\beta,\,\alpha+2\beta,\,\alpha+3\beta)=(0,0,1).
Das duas primeiras coordenadas seguiria \alpha+\beta=0 e \alpha+2\beta=0, que implicam \beta=0 e \alpha=0; daí a terceira coordenada seria 0, não 1. Contradição. Logo não existem tais \alpha,\beta e portanto u\not\in\mathrm{span}\{v_{1},v_{2}\}.
Como u não pertence ao span, o conjunto \{v_{1},v_{2},u\} é linearmente independente e contém três vetores em \mathbb{R}^{3}; portanto é uma base de \mathbb{R}^{3}. Assim uma base completa é
\{(1,1,1),(1,2,3),(0,0,1)\}.

Passo 7

Resumo rápido do raciocínio para levar para a prova:
  • Procure relações lineares óbvias entre os geradores (aqui v_{3}=v_{1}+v_{2}).
  • Remova vetores dependentes; verifique independência dos restantes resolvendo a combinação linear igual a zero.
  • Para completar a base, escolha um vetor simples (por exemplo um dos vetores padrão) que não seja combinação dos vetores já escolhidos; verifique isso resolvendo um sistema simples. Se não houver solução, a adição produz uma base do espaço total.

Resposta

(a) \{(1,1,1),(1,2,3)\}
(b) \dim(V)=2
(c) Uma base de \mathbb{R}^{3} que completa a base de V é \{(1,1,1),(1,2,3),(0,0,1)\}

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