Seja
o subespaço gerado pelos vetores listados. (a) Encontre uma base para
, (b) Dê a dimensz̃o de
, (c) Complete a base encontrada para obter uma base do espaço total.
.
Passo 1
O enunciado nos dá três vetores em
:
As perguntas são:
- (a) Encontrar uma base para o subespaço
. - (b) Determinar a dimensão de
. - (c) Completar a base encontrada para obter uma base de
.
Vou listar e usar todas as informações que o enunciado deu: os três vetores acima geram
. A resolução começa agora.
Passo 2
Explicando o que vamos fazer (passo-a-passo didático).
- Um conjunto de vetores gera
se todo vetor de pode ser escrito como combinação linear desses vetores. Escrever significa exatamente isso. - Uma base de
é um subconjunto de vetores que (i) gera e (ii) é linearmente independente. Linearmente independente significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes iguais a zero). - Para obter uma base a partir de uma família geradora, procuramos relações lineares entre os geradores; vetores que são combinações lineares dos outros podem ser removidos. Vou procurar uma relação entre
.
Passo 3
Vou testar combinações simples para ver se algum dos vetores é combinação linear dos outros. Calculo
:
Como
e esse é exatamente
, concluímos a relação linear simples
Isto mostra que
é dependente dos outros dois e, portanto, pode ser eliminado do gerador:
.
Passo 4
Agora preciso verificar se
e
são linearmente independentes (para saber se já formam uma base). Considere a combinação
Escrevendo coordenada a coordenada:
Isso dá o sistema de equações
Subtraindo a primeira da segunda tem-se
. Com
a primeira equação dá
. Logo
é a única solução, portanto
e
são linearmente independentes. Como também geram
(porque
é combinação deles), concluímos que
é uma base de
.
(Comentário prático: muitas vezes basta encontrar uma relação linear óbvia como
e então checar independência dos restantes.)
Passo 5
A dimensão de
é o número de vetores em qualquer base de
. Como encontramos a base
com dois vetores, segue que
Passo 6
Agora vou completar essa base para uma base de
. A ideia é acrescentar um vetor que não esteja no span de
. Qualquer vetor que não seja combinação linear de
e
serve. Uma escolha simples é
Preciso verificar que
. Se existissem
tais que
, teríamos
Das duas primeiras coordenadas seguiria
e
, que implicam
e
; daí a terceira coordenada seria
, não
. Contradição. Logo não existem tais
e portanto
.
Como
não pertence ao span, o conjunto
é linearmente independente e contém três vetores em
; portanto é uma base de
. Assim uma base completa é
Passo 7
Resumo rápido do raciocínio para levar para a prova:
- Procure relações lineares óbvias entre os geradores (aqui
). - Remova vetores dependentes; verifique independência dos restantes resolvendo a combinação linear igual a zero.
- Para completar a base, escolha um vetor simples (por exemplo um dos vetores padrão) que não seja combinação dos vetores já escolhidos; verifique isso resolvendo um sistema simples. Se não houver solução, a adição produz uma base do espaço total.
Resposta
(a)
(b)
(c) Uma base de que completa a base de
é
(b)
(c) Uma base de