Seja V o subespaço gerado pelos vetores listados. (a) Encontre uma base para V, (b) Dê a dimensz̃o de V, (c) Complete a base encontrada para obter uma base do espaço total. \boldsymbol{E m} \mathbb{R}^{4}: v_{1}=(1,0,0,1), v_{2}=(0,1,1,0), v_{3}=(1,1,1,1).
As perguntas são:
(a) encontrar uma base para V=\operatorname{span}\{v_1,v_2,v_3\};
(b) determinar a dimensão de V;
(c) completar a base encontrada para obter uma base do espaço total \mathbb{R}^4.
Passo 2
O plano é checar se os vetores são linearmente independentes e, se não forem, identificar quais são redundantes. Uma forma prática é montar a matriz cujas colunas são v_1,v_2,v_3 e realizar eliminação de Gauss para encontrar o posto (número de colunas-pivô). Montamos a matriz
A matriz escalonada mostra claramente que há pivôs nas colunas 1 e 2 e que a coluna 3 não apresenta pivô.]
Passo 4
Da eliminação percebemos que a coluna 3 é combinação linear das colunas 1 e 2. De fato, calculando explicitamente:
v_1+v_2=(1,0,0,1)+(0,1,1,0)=(1,1,1,1)=v_3.
Logo v_3 é redundante: v_3=v_1+v_2.
Passo 5
Concluímos que v_1 e v_2 são linearmente independentes (têm pivôs nas colunas 1 e 2) e geram V. Portanto uma base para V é
\{\,v_1,\;v_2\,\}=\{(1,0,0,1),\;(0,1,1,0)\}.
Explicação curta: uma base é um conjunto linearmente independente que gera o subespaço; como v_3 é combinação de v_1,v_2, não precisa na base.
Passo 6
A dimensão de V é o número de vetores na base de V. Como a base encontrada tem dois vetores, a dimensão é
\dim V=2.
Passo 7
Para completar a base de [V) até uma base de \mathbb{R}^4 precisamos acrescentar vetores que aumentem o posto até 4. Um método prático é testar vetores da base canônica \{e_1,e_2,e_3,e_4\} e adicionar aqueles que não estão em \operatorname{span}\{v_1,v_2\}.
Teste com e_1=(1,0,0,0). Suponha que exista a,b tais que
a v_1 + b v_2 = e_1.
Isso dá o sistema de componentes:
\begin{cases} a = 1,\\[4pt] b = 0,\\[4pt] b = 0,\\[4pt] a = 0. \end{cases}
As duas equações para a\] são contraditórias (\[a=1 e a=0); portanto e_1 não está em \operatorname{span}\{v_1,v_2\}. Assim e_1 pode ser adicionado.
Teste com e_2=(0,1,0,0) à coleção \{v_1,v_2,e_1\}. Suponha que existam a,b,c tais que
a v_1 + b v_2 + c e_1 = e_2.
Escrevendo componentes obtemos
\begin{cases} a + c = 0,\\[4pt] b = 1,\\[4pt] b = 0,\\[4pt] a = 0. \end{cases}
As duas equações para b\] são contraditórias (\(b=1 e b=0), logo e_2 também não pertence ao span anterior e pode ser adicionado.
Portanto \{v_1,v_2,e_1,e_2\} é um conjunto de quatro vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^4, logo é uma base de \mathbb{R}^4.]
Passo 8
Resumo da extensão: partindo da base de V, acrescentaram-se e_1=(1,0,0,0) e e_2=(0,1,0,0) para obter uma base completa de \mathbb{R}^4. Observe que outras escolhas possíveis (por exemplo e_3,e_4 ou combinações adequadas) também funcionariam desde que os vetores adicionados não fiquem no span de \{v_1,v_2\}.
Resposta
(a) \{(1,0,0,1),\;(0,1,1,0)\}
(b) \dim V=2
(c) Uma base de \mathbb{R}^4 que completa a base de V é \{(1,0,0,1),\;(0,1,1,0),\;(1,0,0,0),\;(0,1,0,0)\}