Seja
uma base do
-espaço vetorial
. Prove que se
é uma matriz invertível, então
é também uma base de
.
Passo 1
O enunciado nos dá uma base
de
e uma matriz invertível
. Queremos mostrar que o conjunto
também é base de
. Para isso, basta provar que ele é linearmente independente e que gera
.
Passo 2
Prova de independência linear. Suponha que existam escalares
tais que
Como a multiplicação por matriz é linear, isso é
Como
é invertível, a única solução de
é
. Logo
Mas
é base, portanto é independente, o que força
. Concluímos que
é independente.
Passo 3
Prova de geração de
. Tome um vetor arbitrário
. Como
é invertível, existe
tal que
Como
gera
, escrevemos
para alguns escalares
. Aplicando
obtemos
mostrando que
está no span de
. Logo esse conjunto gera
.
Passo 4
Juntando os resultados,
é um conjunto com
vetores em
que é independente e gera o espaço. Portanto é base de
.