Seja v1, v2, ldots, vn uma base do K-espaço vetorial K^n. Prove que se A in Mn(K) é uma matriz invertível, então A v1, A v2, ldots, A vn é também uma base de K^n.

Passo 1

O enunciado nos dá uma base v1,v2,dots,vn de K^n e uma matriz invertível Ain Mn(K). Queremos mostrar que o conjunto A v1,A v2,dots,A vn também é base de K^n. Para isso, basta provar que ele é linearmente independente e que gera K^n.

Passo 2

Prova de independência linear. Suponha que existam escalares c1,dots,cnin K tais que
c1(A v1)+cdots+cn(A vn)=0
Como a multiplicação por matriz é linear, isso é
Al(c1v1+cdots+cnvnr)=0
Como A é invertível, a única solução de A w=0 é w=0. Logo
c1v1+cdots+cnvn=0
Mas v1,dots,vn é base, portanto é independente, o que força c1=cdots=cn=0. Concluímos que A vi é independente.

Passo 3

Prova de geração de K^n. Tome um vetor arbitrário xin K^n. Como A é invertível, existe yin K^n tal que
A,y = x
Como v1,dots,vn gera K^n, escrevemos
y = d1v1+cdots+dnvn
para alguns escalares di. Aplicando A obtemos
x = A,y = d1(A v1)+cdots+dn(A vn),
mostrando que x está no span de A vi. Logo esse conjunto gera K^n.

Passo 4

Juntando os resultados, A v1,dots,A vn é um conjunto com n vetores em K^n que é independente e gera o espaço. Portanto é base de K^n.

Resposta

A v1,A v2,dots,A vn é uma base de K^n.

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