Exercício 3.10.17. Estabelecer quais dos seguintes sistemas são compatíveis, determinados ou indeterminados, e calcular as soluções quando existem:
\left{ lx-2 y=1 2 x-4 y=2 2 x-3 y=1 4 x-7 y=3\right.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear com quatro equações e duas incógnitas:
O conteúdo é classificação de sistemas lineares (compatível/incompatível e determinado/indeterminado) e resolução por substituição ou eliminação.

Passo 2

Da primeira equação isolamos x:
x - 2y = 1 Longrightarrow x = 1 + 2y

Passo 3

Substituímos x = 1 + 2y na terceira equação 2x - 3y = 1:
2(1 + 2y) - 3y = 1 Longrightarrow 2 + 4y - 3y = 1 Longrightarrow y = -1

Passo 4

Agora encontramos x usando x = 1 + 2y:
x = 1 + 2(-1) = 1 - 2 = -1

Passo 5

Verificamos as outras duas equações com (x,y)=(-1,-1):
2x - 4y = 2(-1) - 4(-1) = -2 + 4 = 2,
4x - 7y = 4(-1) - 7(-1) = -4 + 7 = 3,
portanto ambas são satisfeitas. O posto da matriz dos coeficientes é 2 e o posto ampliado também é 2, igual ao número de incógnitas; assim o sistema é compatível determinado.

Resposta

O sistema é compatível determinado e sua única solução é
(x,y)=(-1,-1)

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