Seja VABC um tetraedro regular com arestas 10 e \\\mathrm{X}, \\\mathrm{Y}\\ e Z pontos em VA, VB e VC, respectivamente, tais que \\\mathrm{VX}=1, \\\mathrm{VY}=3\\ e \\\mathrm{VZ}=6\\. Calcule o ângulo entre os planos XYZ e ABC .

Passo 1

O enunciado dá um tetraedro regular VABC de arestas 10 e pontos X\in VA, Y\in VB e Z\in VC tais que
VX=1,\quad VY=3,\quad VZ=6.
Queremos o ângulo entre o plano XYZ e o plano ABC. Para isso, vamos usar geometria vetorial: colocamos o plano ABC como plano horizontal z=0, determinamos vetores normais aos dois planos e então aplicamos a fórmula do ângulo entre planos, que é o mesmo ângulo entre seus vetores normais.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas onde o triângulo ABC está em z=0 com centroide na origem e V acima desse plano:
\text{centroide de }ABC\equiv O=(0,0,0),
A=(d,0,0),\quad B=\Bigl(-\tfrac d2,\tfrac{d\sqrt3}2,0\Bigr),\quad C=\Bigl(-\tfrac d2,-\tfrac{d\sqrt3}2,0\Bigr),
V=(0,0,h).
Como ABC é equilátero de lado 10, a distância do centroide a cada vértice é
d=\frac{10}{\sqrt3},
e para que VA=10 devemos ter
h=\sqrt{10^2 - d^2} =\sqrt{100 - \frac{100}{3}} =10\sqrt{\frac23}.

Passo 3

Os pontos X,Y,Z dividem os segmentos de V para os vértices com razões
\frac{VX}{VA}=\frac{1}{10},\quad \frac{VY}{VB}=\frac{3}{10},\quad \frac{VZ}{VC}=\frac{6}{10}.
Logo, usando a forma paramétrica
X=V+\tfrac{1}{10}(A-V),\quad Y=V+\tfrac{3}{10}(B-V),\quad Z=V+\tfrac{6}{10}(C-V),
obtemos
X=\Bigl(\tfrac{d}{10},0,\tfrac{9h}{10}\Bigr),\quad Y=\Bigl(-\tfrac{3d}{20},\tfrac{3d\sqrt3}{20},\tfrac{7h}{10}\Bigr),\quad Z=\Bigl(-\tfrac{3d}{10},-\tfrac{3d\sqrt3}{10},\tfrac{2h}{5}\Bigr).

Passo 4

Definimos os vetores no plano XYZ:
\vec{u}=Y-X =\Bigl(-\tfrac{d}{4},\;\tfrac{3d\sqrt3}{20},\;-\tfrac{h}{5}\Bigr), \quad \vec{v}=Z-X =\Bigl(-\tfrac{2d}{5},\;-\tfrac{3d\sqrt3}{10},\;-\tfrac{h}{2}\Bigr).

Passo 5

O vetor normal ao plano XYZ é
\vec{n} =\vec{u}\times\vec{v} =\Bigl(-\tfrac{27\,d\,h\sqrt3}{200},\;-\tfrac{9\,d\,h}{200},\;\tfrac{27\,d^2\sqrt3}{200}\Bigr).
Ao plano ABC, que é z=0, corresponde o vetor normal \,\vec{k}=(0,0,1).

Passo 6

O ângulo \theta entre os planos é o ângulo entre \vec{n} e \vec{k}, dado por
\cos\theta =\frac{\bigl|\vec{n}\cdot\vec{k}\bigr|}{\|\vec{n}\|\;\|\vec{k}\|} =\frac{\bigl|n_z\bigr|}{\|\vec{n}\|} =\frac{\tfrac{27\,d^2\sqrt3}{200}}{\sqrt{\bigl(\tfrac{27\,d\,h\sqrt3}{200}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{9\,d\,h}{200}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{27\,d^2\sqrt3}{200}\bigr)^2}}.

Passo 7

Substituindo d^2=\tfrac{100}{3} e h^2=\tfrac{200}{3} e simplificando, chega-se a
\cos\theta =\frac{9}{\sqrt{249}}.
Portanto
\theta =\operatorname{arccos}\!\biggl(\frac{9}{\sqrt{249}}\biggr) \approx55,1^\circ.

Resposta

\displaystyle \theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{9}{\sqrt{249}}\bigr)\approx55,1^\circ.

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