Seja
a) Encontre o valor de k .
b) Encontre as marginais
.
c) X e Y são independentes? Justifique.
d) Calcule
.
e) Calcule
e
.
b) Encontre as marginais .
d) Calcule
e) Calcule
Passo 1
O enunciado dá a função densidade conjunta da v.a. bidimensional
- As perguntas são:
a) Determinar o valor de e.
c) Verificar see são independentes (justificar).
d) Calcular.
e) Calculare .]
Passo 2
Encontrar
pela condição de normalização: a integral dupla da densidade sobre todo o suporte deve ser
. Isso significa
No nosso caso o suporte é
,
. Portanto
Calculo interno (integração em
):
Então a integral total fica
Impondo
obtemos
Passo 3
Encontrar as marginais. Lembrando a definição: a densidade marginal de
é
(integrar em
sobre seu suporte), e a de
é
.
Primeiro
para
:
Substituindo
:
e
fora desse intervalo.
Agora
para
:
Com
temos
e
fora desse intervalo.
Passo 4
Verificar independência. Conceito:
e
são independentes se, para todo
no suporte, vale
Vamos calcular o produto das marginais no suporte
:
Mas
é exatamente
com
. Assim, para todo
no suporte temos
. Conclusão:
e
são independentes.
Passo 5
Calcular
. Isso é a integral dupla de
sobre
e
:
Primeiro integramos em
:
Então
Calcule
e
. Assim
. Logo
Substituindo
:
Fatorizando
e
obtemos simplificação:
Passo 6
Calcular as expectativas usando as marginais (fórmula:
,
).
Para
, com
em
:
Para
, com
em
:
Calcule o interior:
. Então
Resposta
a)
b)
para
(e
fora); \quad
para
(e
fora)
c) Sim.
no suporte (portanto
e
são independentes)
d)
e)
, \quad