Seja \mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})\) uma função densidade de probabilidade conjunta da v.a. bidimensional \((\mathrm{X}, \mathrm{Y})\) dada por: \[f(x, y)= \begin{cases}k x^{2}(y+2), & \text { se } 1 \leq x \leq 2 ; 0 \leq y \leq 2, \\\\ 0, & \text { c.c }\end{cases}
a) Encontre o valor de k .
b) Encontre as marginais \mathrm{g}(\mathrm{x})\] e \(\mathrm{g}(\mathrm{y}).
c) X e Y são independentes? Justifique.
d) Calcule \mathrm{P}(\mathrm{X} \geq 1,5 ; 1 \leq \mathrm{Y} \leq 2).
e) Calcule \mathrm{E}(\mathrm{X}) e \mathrm{E}(\mathrm{Y}).

Passo 1

O enunciado dá a função densidade conjunta da v.a. bidimensional (X,Y)\) e pede várias coisas. Informações fornecidas: - A densidade conjunta é \[f(x,y)=\begin{cases} k\,x^{2}(y+2), & \text{se } 1\le x\le 2,\;0\le y\le 2,\\[4pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
  • As perguntas são:
    a) Determinar o valor de k\]. b) Encontrar as densidades marginais \(g_X(x) e g_Y(y).
    c) Verificar se X e Y são independentes (justificar).
    d) Calcular \mathrm{P}\big(X\ge 1{,}5,\;1\le Y\le 2\big).
    e) Calcular \mathrm{E}(X) e \mathrm{E}(Y).]

Passo 2

Encontrar k pela condição de normalização: a integral dupla da densidade sobre todo o suporte deve ser 1. Isso significa
\iint_{\text{suporte}} f(x,y)\,dy\,dx = 1.
No nosso caso o suporte é x\in[1,2], y\in[0,2]. Portanto
\int_{x=1}^{2}\int_{y=0}^{2} k\,x^{2}(y+2)\,dy\,dx = 1.
Calculo interno (integração em y):
\int_{0}^{2} (y+2)\,dy = \left[\frac{y^{2}}{2}+2y\right]_{0}^{2} = \left(\frac{4}{2}+4\right)-0 = 2+4=6.
Então a integral total fica
\int_{1}^{2} k\,x^{2}\cdot 6\,dx = 6k\int_{1}^{2} x^{2}\,dx = 6k\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{2}=6k\left(\frac{8-1}{3}\right)=6k\cdot\frac{7}{3}=14k.
Impondo 14k=1 obtemos
k=\frac{1}{14}.

Passo 3

Encontrar as marginais. Lembrando a definição: a densidade marginal de X é g_X(x)=\int f(x,y)\,dy (integrar em y sobre seu suporte), e a de Y é g_Y(y)=\int f(x,y)\,dx.
Primeiro g_X(x) para 1\le x\le 2:
g_X(x)=\int_{0}^{2} k\,x^{2}(y+2)\,dy = k\,x^{2}\int_{0}^{2}(y+2)\,dy = k\,x^{2}\cdot 6 = 6k\,x^{2}.
Substituindo k=\dfrac{1}{14}:
g_X(x)=6\cdot\frac{1}{14}\,x^{2}=\frac{3}{7}\,x^{2},\qquad 1\le x\le 2,
e g_X(x)=0 fora desse intervalo.
Agora g_Y(y) para 0\le y\le 2:
g_Y(y)=\int_{1}^{2} k\,x^{2}(y+2)\,dx = k(y+2)\int_{1}^{2} x^{2}\,dx = k(y+2)\cdot\frac{7}{3}=\frac{7k}{3}(y+2).
Com k=\dfrac{1}{14} temos
g_Y(y)=\frac{7}{3}\cdot\frac{1}{14}(y+2)=\frac{1}{6}(y+2),\qquad 0\le y\le 2,
e g_Y(y)=0 fora desse intervalo.

Passo 4

Verificar independência. Conceito: X e Y são independentes se, para todo (x,y) no suporte, vale
f(x,y)=g_X(x)\,g_Y(y).
Vamos calcular o produto das marginais no suporte 1\le x\le 2,\;0\le y\le 2:
g_X(x)g_Y(y)=\left(\frac{3}{7}x^{2}\right)\left(\frac{1}{6}(y+2)\right)=\frac{3}{7}\cdot\frac{1}{6}\,x^{2}(y+2)=\frac{1}{14}\,x^{2}(y+2).
Mas \dfrac{1}{14}x^{2}(y+2) é exatamente f(x,y) com k=\dfrac{1}{14}. Assim, para todo (x,y) no suporte temos f(x,y)=g_X(x)g_Y(y). Conclusão: X e Y são independentes.

Passo 5

Calcular \mathrm{P}\big(X\ge 1{,}5,\;1\le Y\le 2\big). Isso é a integral dupla de f(x,y) sobre x\in[1{,}5,2] e y\in[1,2]:
\mathrm{P}=\int_{x=1{,}5}^{2}\int_{y=1}^{2} k\,x^{2}(y+2)\,dy\,dx.
Primeiro integramos em y:
\int_{1}^{2} (y+2)\,dy = \left[\frac{y^{2}}{2}+2y\right]_{1}^{2} = \left(2+4\right)-\left(\frac{1}{2}+2\right)=6-\frac{5}{2}=\frac{7}{2}.
Então
\mathrm{P}=\int_{1{,}5}^{2} k\,x^{2}\cdot\frac{7}{2}\,dx = \frac{7k}{2}\int_{1{,}5}^{2} x^{2}\,dx = \frac{7k}{2}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{1{,}5}^{2}=\frac{7k}{6}\bigl(2^{3}-1{,}5^{3}\bigr).
Calcule 2^{3}=8 e 1{,}5^{3}=(3/2)^{3}=27/8=3{,}375. Assim 8-3{,}375=4{,}625=\dfrac{37}{8}. Logo
\mathrm{P}=\frac{7k}{6}\cdot\frac{37}{8}=\frac{259k}{48}.
Substituindo k=\dfrac{1}{14}:
\mathrm{P}=\frac{259}{48}\cdot\frac{1}{14}=\frac{259}{672}.
Fatorizando 259=7\cdot 37 e 672=7\cdot 96 obtemos simplificação:
\mathrm{P}=\frac{37}{96}\approx 0{,}3854.

Passo 6

Calcular as expectativas usando as marginais (fórmula: \mathrm{E}(X)=\int x\,g_X(x)\,dx, \mathrm{E}(Y)=\int y\,g_Y(y)\,dy).
Para \mathrm{E}(X), com g_X(x)=\dfrac{3}{7}x^{2} em [1,2]:
\mathrm{E}(X)=\int_{1}^{2} x\cdot \frac{3}{7}x^{2}\,dx = \frac{3}{7}\int_{1}^{2} x^{3}\,dx = \frac{3}{7}\left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{1}^{2}=\frac{3}{7}\cdot\frac{16-1}{4}=\frac{3}{7}\cdot\frac{15}{4}=\frac{45}{28}\approx 1{,}6071.
Para \mathrm{E}(Y), com g_Y(y)=\dfrac{1}{6}(y+2) em [0,2]:
\mathrm{E}(Y)=\int_{0}^{2} y\cdot\frac{1}{6}(y+2)\,dy = \frac{1}{6}\int_{0}^{2} (y^{2}+2y)\,dy = \frac{1}{6}\left[\frac{y^{3}}{3}+y^{2}\right]_{0}^{2}.
Calcule o interior: \dfrac{8}{3}+4=\dfrac{8+12}{3}=\dfrac{20}{3}. Então
\mathrm{E}(Y)=\frac{1}{6}\cdot\frac{20}{3}=\frac{20}{18}=\frac{10}{9}\approx 1{,}111\ldots

Resposta

a) k=\dfrac{1}{14}
b) g_X(x)=\dfrac{3}{7}x^{2} para 1\le x\le 2 (e 0 fora); \quad g_Y(y)=\dfrac{1}{6}(y+2) para 0\le y\le 2 (e 0 fora)
c) Sim. f(x,y)=g_X(x)\,g_Y(y) no suporte (portanto X e Y são independentes)
d) \mathrm{P}\big(X\ge 1{,}5,\;1\le Y\le 2\big)=\dfrac{37}{96}
e) \mathrm{E}(X)=\dfrac{45}{28}, \quad \mathrm{E}(Y)=\dfrac{10}{9}

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