Seja X uma variável aleatória contínua com uma distribuição triangular, com função densidade de probabilidade não nula no intervalo [0,2], dada por f(x)=1 / 2(2-x), sendo nula caso contrário. Identifique quais as afirmações seguintes são verdadeiras e quais são falsas. Justifique.
a) P(X>1)=P(X \leq 1)=0,5
b) F_{X}(x)=1-x^{2} / 4, é a função distribuição acumulada de X;
c) F_{X}(1,5)=15 / 16;
d) E(X)=\frac{3}{4}, é a esperança matemática de X;
e) M d(X)>1, onde M d(X) representa a mediana de X.

Passo 1

O enunciado define uma variável contínua X em [0,2] com densidade triangular
f(x)=\frac{1}{2}(2-x),\quad 0\le x\le2,
nula fora desse intervalo. Precisamos encontrar a função de distribuição F_X(x), calcular probabilidades para x=1 e x=1{,}5, a esperança E(X) e a mediana Md(X) para avaliar as afirmações.

Passo 2

Para 0\le x\le2 temos
F_X(x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{2}(2-t)\,dt =\frac{1}{2}\Bigl(2t-\frac{t^{2}}{2}\Bigr)\Big|_{0}^{x} =x-\frac{x^{2}}{4}.
A expressão proposta em b) é 1-\frac{x^{2}}{4}, mas o correto é x-\frac{x^{2}}{4}. Logo, b) é falsa.

Passo 3

Para x=1:
F_X(1)=1-\frac{1^{2}}{4}=\frac{3}{4},
então
P(X>1)=1-F_X(1)=\frac{1}{4}\neq\frac{1}{2}.
Para x=1{,}5:
F_X(1{,}5)=1{,}5-\frac{(1{,}5)^{2}}{4} =1{,}5-\frac{2{,}25}{4} =1{,}5-0{,}5625 =0{,}9375 =\frac{15}{16}.
Portanto, a) é falsa e c) é verdadeira.

Passo 4

A esperança é
E(X)=\int_{0}^{2}x\frac{1}{2}(2-x)\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{2}(2x-x^{2})\,dx =\frac{1}{2}\Bigl[x^{2}-\frac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{2} =\frac{1}{2}\Bigl(4-\frac{8}{3}\Bigr) =\frac{2}{3}\neq\frac{3}{4}.
Logo, d) é falsa.

Passo 5

A mediana m satisfaz F_X(m)=\tfrac12, ou seja
m-\frac{m^{2}}{4}=\frac{1}{2} \;\Longrightarrow\; m^{2}-4m+2=0 \;\Longrightarrow\; m=2\pm\sqrt{2}.
O valor em [0,2] é m=2-\sqrt{2}\approx0{,}586<1. Assim, e) é falsa.

Resposta

a) Falsa
b) Falsa
c) Verdadeira
d) Falsa
e) Falsa

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