Uma variável aleatória X\) tem sua distribuição dada pela função:
\[f(x)= \begin{cases}0, & \text { se } x<0 \\\\ 4 x, & \text { se } 0 \leq x<1 / 2 \\\\ 4(1-x), & \text { se } 1 / 2 \leq x<1 \\\\ 0, & \text { se } x \geq 1\end{cases}
a) Faça o gráfico de f(x)\]
b) Determine \(\mathrm{P}(X<1 / 2) e \mathrm{P}(1 / 4 \leq X \leq 3 / 4)
Passo 1
O enunciado nos dá a densidade de probabilidade f de uma variável contínua X, definida em pedaços: \;f(x)=0 para x<0, \;f(x)=4x para 0\le x<\tfrac12, \;f(x)=4(1-x) para \tfrac12\le x<1, \;f(x)=0 para x\ge1.
O que precisamos fazer é:
– desenhar o gráfico de f(x), que é uma função linear em cada intervalo;
– calcular probabilidades pela integral da densidade, ou seja,
\mathrm P(a\le X\le b)=\int_{a}^{b}f(x)\,dx.
Passo 2
Para esboçar o gráfico de f(x):
– No intervalo [0,\tfrac12), f(x)=4x é uma reta que parte de (0,0) e sobe até \bigl(\tfrac12,2\bigr).
– No intervalo [\tfrac12,1), f(x)=4(1-x) é uma reta que parte de \bigl(\tfrac12,2\bigr) e desce até (1,0).
– Fora de [0,1), f(x)=0.
Assim o gráfico forma um “triângulo” com pico em x=\tfrac12 e altura 2.
Passo 3
Calcular \mathrm P\bigl(X<\tfrac12\bigr). Como a densidade é zero fora de [0,1] e positiva em [0,\tfrac12),
a) O gráfico de f(x) é um triângulo sobre [0,1] com vértices em (0,0), \bigl(\tfrac12,2\bigr) e (1,0), e valendo zero fora de [0,1].
b) \displaystyle \mathrm P\bigl(X<\tfrac12\bigr)=\tfrac12. \displaystyle \mathrm P\bigl(\tfrac14\le X\le\tfrac34\bigr)=\tfrac34.