Uma variável aleatória X\) tem sua distribuição dada pela função: \[f(x)= \begin{cases}0, & \text { se } x<0 \\\\ 4 x, & \text { se } 0 \leq x<1 / 2 \\\\ 4(1-x), & \text { se } 1 / 2 \leq x<1 \\\\ 0, & \text { se } x \geq 1\end{cases}
a) Faça o gráfico de f(x)\] b) Determine \(\mathrm{P}(X<1 / 2) e \mathrm{P}(1 / 4 \leq X \leq 3 / 4)

Passo 1

O enunciado nos dá a densidade de probabilidade f de uma variável contínua X, definida em pedaços:
\;f(x)=0 para x<0,
\;f(x)=4x para 0\le x<\tfrac12,
\;f(x)=4(1-x) para \tfrac12\le x<1,
\;f(x)=0 para x\ge1.
O que precisamos fazer é:
– desenhar o gráfico de f(x), que é uma função linear em cada intervalo;
– calcular probabilidades pela integral da densidade, ou seja,
\mathrm P(a\le X\le b)=\int_{a}^{b}f(x)\,dx.

Passo 2

Para esboçar o gráfico de f(x):
– No intervalo [0,\tfrac12), f(x)=4x é uma reta que parte de (0,0) e sobe até \bigl(\tfrac12,2\bigr).
– No intervalo [\tfrac12,1), f(x)=4(1-x) é uma reta que parte de \bigl(\tfrac12,2\bigr) e desce até (1,0).
– Fora de [0,1), f(x)=0.
Assim o gráfico forma um “triângulo” com pico em x=\tfrac12 e altura 2.

Passo 3

Calcular \mathrm P\bigl(X<\tfrac12\bigr). Como a densidade é zero fora de [0,1] e positiva em [0,\tfrac12),
\mathrm P\bigl(X<\tfrac12\bigr) =\int_{0}^{1/2}4x\,dx =\left.2x^{2}\right|_{0}^{1/2} =2\cdot\frac{1}{4} =\frac12.

Passo 4

Calcular \mathrm P\bigl(\tfrac14\le X\le\tfrac34\bigr). Há que partir a integral em \tfrac12:
\mathrm P\bigl(\tfrac14\le X\le\tfrac34\bigr) =\int_{1/4}^{1/2}4x\,dx +\int_{1/2}^{3/4}4(1-x)\,dx.
Primeira parte:
\int_{1/4}^{1/2}4x\,dx =2\bigl[x^{2}\bigr]_{1/4}^{1/2} =2\Bigl(\frac14-\frac1{16}\Bigr) =2\cdot\frac{3}{16} =\frac{3}{8}.
Segunda parte:
\int_{1/2}^{3/4}4(1-x)\,dx =\Bigl[4x-2x^{2}\Bigr]_{1/2}^{3/4} =\bigl(3-1.125\bigr)-\bigl(2-0.5\bigr) =1.875-1.5 =\frac{3}{8}.
Somando,
\mathrm P\bigl(\tfrac14\le X\le\tfrac34\bigr) =\frac{3}{8}+\frac{3}{8} =\frac{6}{8} =\frac{3}{4}.

Resposta

a) O gráfico de f(x) é um triângulo sobre [0,1] com vértices em (0,0), \bigl(\tfrac12,2\bigr) e (1,0), e valendo zero fora de [0,1].
b)
\displaystyle \mathrm P\bigl(X<\tfrac12\bigr)=\tfrac12.
\displaystyle \mathrm P\bigl(\tfrac14\le X\le\tfrac34\bigr)=\tfrac34.

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