A diária de arroz num supermercado, em centenas de quilos, é uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade
f(x)= \begin{cases}0, & \text { se } x<0 \\\ \frac{2}{3} x, & \text { se } 0 \leq x<1 \\\\ -\frac{x}{3}+1, & \text { se } 1 \leq x<3 \\\\ 0, & \text { se } x \geq 3\end{cases}
a) Faça o gráfico de f(x)
b) Qual é a probabilidade de se vender mais de 150 kg num dia escolhido aleatoriamente?
c) Qual a quantidade de arroz que deve ser deixada à disposição dos clientes diariamente para que não falte arroz em 95 \% dos dias?

Passo 1

O enunciado define a variável aleatória contínua X\) (vendidos, em centenas de quilos) com densidade \[f(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\[6pt] \dfrac{2}{3}\,x, & 0 \le x<1,\\[6pt] -\dfrac{x}{3}+1, & 1 \le x<3,\\[4pt] 0, & x\ge3. \end{cases}
Precisamos:
  1. desenhar o gráfico de f(x)\], 2) calcular \(P(X>1{,}5) (isto é, vender mais de 150 kg = 1,5 centenas),
    3) achar x_{0} tal que P(X\le x_{0})=0{,}95 (quantil de 95 %).]

Passo 2

Para fazer o gráfico, note os dois trechos não-nulos:
  • Em 0\le x<1, f(x)=\tfrac{2}{3}x. É uma reta saindo de (0,0) até (1,\tfrac{2}{3}).
  • Em 1\le x<3, f(x)=-\tfrac{x}{3}+1. É uma reta que em x=1 vale \tfrac{2}{3} e em x=3 vale 0.
    Fora de [0,3), f(x)=0.
    Logo o gráfico é um “triângulo” em forma de trapézio: cresce linearmente até (1,2/3) e decresce linearmente até (3,0).

Passo 3

Calculemos a função de distribuição F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt.
Para 0\le x<1:
F(x)=\int_{0}^{x}\frac{2}{3}t\,dt =\frac{2}{3}\,\frac{t^{2}}{2}\Big|_{0}^{x} =\frac{1}{3}x^{2}.
Para 1\le x<3:
F(x)=F(1^{-})+\int_{1}^{x}\Bigl(-\tfrac{t}{3}+1\Bigr)dt =\tfrac{1}{3}+\Bigl(-\tfrac{t^{2}}{6}+t\Bigr)\Big|_{1}^{x} =-\frac{x^{2}}{6}+x-\frac{1}{2}.
E para x\ge3 temos F(x)=1.

Passo 4

Queremos P(X>1{,}5)=1-F(1{,}5). Como 1{,}5\in[1,3),
F(1{,}5)=-\frac{(1{,}5)^{2}}{6}+1{,}5-\frac{1}{2} =-\frac{2{,}25}{6}+1{,}5-0{,}5 =-0{,}375+1{,}0 =0{,}625.
Logo
P(X>1{,}5)=1-0{,}625=0{,}375.

Passo 5

Procuramos x_{0}\in[1,3) tal que F(x_{0})=0{,}95, ou seja
-\frac{x_{0}^{2}}{6}+x_{0}-\frac{1}{2}=0{,}95 \quad\Longrightarrow\quad x_{0}^{2}-6x_{0}+8{,}7=0.
As raízes são
x_{0}=\frac{6\pm\sqrt{36-4\cdot8{,}7}}{2} =\frac{6\pm\sqrt{1{,}2}}{2} \approx\{2{,}4523,\;3{,}5477\}.
Escolhemos x_{0}\approx2{,}4523 (pois cabe em [1,3)). Isso em quilos é
2{,}4523\times100\approx245{,}23\text{ kg}.

Resposta

a) Gráfico piecewise: reta de (0,0) a (1,2/3), depois reta de (1,2/3) a (3,0), zero fora de [0,3].
b) 0{,}375.
c) Cerca de 245\text{ kg} (isto é, 2{,}45 centenas de quilos).

Exercícios relacionados