A diária de arroz num supermercado, em centenas de quilos, é uma variável aleatória contínua com função de densidade de probabilidade
f(x)= \begin{cases}0, & \text { se } x<0 \\\ \frac{2}{3} x, & \text { se } 0 \leq x<1 \\\\ -\frac{x}{3}+1, & \text { se } 1 \leq x<3 \\\\ 0, & \text { se } x \geq 3\end{cases}
a) Faça o gráfico de f(x)
b) Qual é a probabilidade de se vender mais de 150 kg num dia escolhido aleatoriamente?
c) Qual a quantidade de arroz que deve ser deixada à disposição dos clientes diariamente para que não falte arroz em 95 \% dos dias?
Passo 1
O enunciado define a variável aleatória contínua X\) (vendidos, em centenas de quilos) com densidade
\[f(x)= \begin{cases} 0, & x<0,\\[6pt] \dfrac{2}{3}\,x, & 0 \le x<1,\\[6pt] -\dfrac{x}{3}+1, & 1 \le x<3,\\[4pt] 0, & x\ge3. \end{cases}
Precisamos:
desenhar o gráfico de f(x)\],
2) calcular \(P(X>1{,}5) (isto é, vender mais de 150 kg = 1,5 centenas),
3) achar x_{0} tal que P(X\le x_{0})=0{,}95 (quantil de 95 %).]
Passo 2
Para fazer o gráfico, note os dois trechos não-nulos:
Em 0\le x<1, f(x)=\tfrac{2}{3}x. É uma reta saindo de (0,0) até (1,\tfrac{2}{3}).
Em 1\le x<3, f(x)=-\tfrac{x}{3}+1. É uma reta que em x=1 vale \tfrac{2}{3} e em x=3 vale 0.
Fora de [0,3), f(x)=0.
Logo o gráfico é um “triângulo” em forma de trapézio: cresce linearmente até (1,2/3) e decresce linearmente até (3,0).
Passo 3
Calculemos a função de distribuição F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt.
Para 0\le x<1:
Escolhemos x_{0}\approx2{,}4523 (pois cabe em [1,3)). Isso em quilos é
2{,}4523\times100\approx245{,}23\text{ kg}.
Resposta
a) Gráfico piecewise: reta de (0,0) a (1,2/3), depois reta de (1,2/3) a (3,0), zero fora de [0,3].
b) 0{,}375.
c) Cerca de 245\text{ kg} (isto é, 2{,}45 centenas de quilos).