Seja X uma variável aleatória cuja função de distribuição acumulada FX é dada por:
FX(x)= l l l 0 & se & x < 1 1 8 & se & 1 <= x < 2 3 8 & se & 2 <= x < 3 7 1 6 & se & 3 <= x < 4 5 1 8 0 & se & 4 <= x < 5 5 9 8 0 & se & 5 <= x < 6 1516 & se & 6 <= x<7 1 & se & 7 <= x
Determine:
a) a função de probabilidade de X;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ e a sua função de distribuição acumulada $ F_X(x) $. Nosso objetivo aqui é encontrar a função de probabilidade de $ X $, ou seja, descobrir as probabilidades associadas a cada valor que $ X $ pode assumir. Vamos precisar usar conceitos de probabilidade discreta e entender como a função de distribuição acumulada funciona. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada (FDA). A FDA, $ F_X(x) $, nos dá a probabilidade de que a variável aleatória $ X $ seja menor ou igual a um certo valor $ x $, ou seja:
FX(x)
No nosso caso, a FDA foi dada por partes para diferentes intervalos de $ x $.

Passo 3

Agora, para encontrar a função de probabilidade $ p_X(x) $, que nos dá $ P(X = x) $, precisamos identificar onde a PDF tem “saltos”. Em outras palavras, $ p_X(x) $ é a diferença entre $ F_X(x) $ e $ F_X(x^-) $, onde $ F_X(x^-) $ é o valor da FDA logo antes de $ x $.
Matematicamente, isso é:
pX(x)

Passo 4

Vamos analisar os pontos onde $ F_X(x) $ muda de valor, ou seja, nos pontos $ x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 $. Para cada um desses pontos, vamos calcular a diferença mencionada.

Passo 5

Começando com $ x = 1 $:
x = 1
Então,
FX(1) = 18, FX(1^-) = 0

Passo 6

Para $ x = 2 $:
x = 2
Então,
FX(2) = 38, FX(2^-) = 18

Passo 7

Para $ x = 3 $:
x = 3
Então,
FX(3) = 716, FX(3^-) = 38 = 616

Passo 8

Para $ x = 4 $:
x = 4
Então,
FX(4) = 5180, FX(4^-) = 716 = 3580

Passo 9

Para $ x = 5 $:
x = 5
Então,
FX(5) = 5980, FX(5^-) = 5180

Passo 10

Para $ x = 6 $:
x = 6
Convertendo $ \frac{15}{16} $ para oitavos para facilitar a subtração:
FX(6) = 1516, FX(6^-) = 5980 = 5980
Então,
1516

Passo 11

Finalmente, para $ x = 7 $:
x = 7
Então,
FX(7) = 1, FX(7^-) = 1516 = 7580

Resposta

A função de probabilidade de $ X $ é dada por:
X á

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