Seja uma variável aleatória cuja função de distribuição acumulada é dada por:
Determine:
a) a função de probabilidade de X;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória $ X $ e a sua função de distribuição acumulada $ F_X(x) $. Nosso objetivo aqui é encontrar a função de probabilidade de $ X $, ou seja, descobrir as probabilidades associadas a cada valor que $ X $ pode assumir. Vamos precisar usar conceitos de probabilidade discreta e entender como a função de distribuição acumulada funciona. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada (FDA). A FDA, $ F_X(x) $, nos dá a probabilidade de que a variável aleatória $ X $ seja menor ou igual a um certo valor $ x $, ou seja:
FX(x)
No nosso caso, a FDA foi dada por partes para diferentes intervalos de $ x $.
Passo 3
Agora, para encontrar a função de probabilidade $ p_X(x) $, que nos dá $ P(X = x) $, precisamos identificar onde a PDF tem “saltos”. Em outras palavras, $ p_X(x) $ é a diferença entre $ F_X(x) $ e $ F_X(x^-) $, onde $ F_X(x^-) $ é o valor da FDA logo antes de $ x $.
Matematicamente, isso é:
pX(x)
Passo 4
Vamos analisar os pontos onde $ F_X(x) $ muda de valor, ou seja, nos pontos $ x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 $. Para cada um desses pontos, vamos calcular a diferença mencionada.
Passo 5
Começando com $ x = 1 $:
x = 1
Então,
FX(1) = 18, FX(1^-) = 0
Passo 6
Para $ x = 2 $:
x = 2
Então,
FX(2) = 38, FX(2^-) = 18
Passo 7
Para $ x = 3 $:
x = 3
Então,
FX(3) = 716, FX(3^-) = 38 = 616
Passo 8
Para $ x = 4 $:
x = 4
Então,
FX(4) = 5180, FX(4^-) = 716 = 3580
Passo 9
Para $ x = 5 $:
x = 5
Então,
FX(5) = 5980, FX(5^-) = 5180
Passo 10
Para $ x = 6 $:
x = 6
Convertendo $ \frac{15}{16} $ para oitavos para facilitar a subtração: