Seja X uma variável aleatória discreta, com a distribuição de probabilidade mostrada no quadro a seguir.
X 0 1 2 3 4 5
P(X) 0,12 0,24 0,28 0,18 0,10 0,08
Qual a variância?

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta X. As informações fornecidas são (peguei esses números do enunciado):
  • P(X=0)=0,12
  • P(X=1)=0,24
  • P(X=2)=0,28
  • P(X=3)=0,18
  • P(X=4)=0,10
  • P(X=5)=0,08
A pergunta é: qual a variância de X?

Passo 2

Vou lembrar e aplicar a fórmula da esperança (valor esperado). A esperança de uma variável discreta X é
\mathbb{E}[X]=\sum_{x} x\,P(X=x),
onde cada x é um valor possível de X e P(X=x) é a probabilidade associada. Aqui os x são 0,1,2,3,4,5. Substituindo os valores dados:
\mathbb{E}[X]=0\cdot 0,12 + 1\cdot 0,24 + 2\cdot 0,28 + 3\cdot 0,18 + 4\cdot 0,10 + 5\cdot 0,08.
Agora calculo termo a termo (mostrando a conta para você poder reproduzir sem calculadora):
0\cdot 0,12=0, \qquad 1\cdot 0,24=0,24, \qquad 2\cdot 0,28=0,56,
3\cdot 0,18=0,54, \qquad 4\cdot 0,10=0,40, \qquad 5\cdot 0,08=0,40.
Somando:
\mathbb{E}[X]=0 + 0,24 + 0,56 + 0,54 + 0,40 + 0,40 = 2,14.

Passo 3

Agora vou calcular \mathbb{E}[X^2], que é necessário para a fórmula que usaremos para a variância. A definição é
\mathbb{E}[X^2]=\sum_x x^{2} P(X=x).
Substituindo os valores:
\mathbb{E}[X^2]=0^{2}\cdot0,12 + 1^{2}\cdot0,24 + 2^{2}\cdot0,28 + 3^{2}\cdot0,18 + 4^{2}\cdot0,10 + 5^{2}\cdot0,08.
Calculo termo a termo:
0^{2}\cdot0,12=0, \qquad 1^{2}\cdot0,24=0,24, \qquad 2^{2}\cdot0,28=4\cdot0,28=1,12,
3^{2}\cdot0,18=9\cdot0,18=1,62, \qquad 4^{2}\cdot0,10=16\cdot0,10=1,60, \qquad 5^{2}\cdot0,08=25\cdot0,08=2,00.
Somando:
\mathbb{E}[X^2]=0 + 0,24 + 1,12 + 1,62 + 1,60 + 2,00 = 6,58.

Passo 4

A variância de X pode ser calculada pela fórmula
\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}\big[(X-\mathbb{E}[X])^{2}\big]=\mathbb{E}[X^{2}]-\big(\mathbb{E}[X]\big)^{2}.
Aqui \mathbb{E}[X] é a média que já calculei e \mathbb{E}[X^{2}] também. Essa segunda forma é prática porque evita calcular desvio ao quadrado para cada valor individual.

Passo 5

Substituindo os valores que já obtivemos:
\operatorname{Var}(X)=\mathbb{E}[X^{2}]-\big(\mathbb{E}[X]\big)^{2}=6,58-\big(2,14\big)^{2}.
Calculo agora \big(2,14\big)^{2}. Uma forma óbvia é fazer 2,14\times2,14:
\big(2,14\big)^{2}=4,5796.
Portanto a expressão fica
\operatorname{Var}(X)=6,58-4,5796.

Resposta

\operatorname{Var}(X)=2,0004

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