Seja X uma variável aleatória discreta, com a distribuição de probabilidade mostrada no quadro a seguir.
X 0 1 2 3 4 5
P(X) 0,12 0,24 0,28 0,18 0,10 0,08
Qual a esperança ?

Passo 1

O enunciado fornece a distribuição discreta de X (peguei estes números da tabela do enunciado). As informações relevantes são:
  • Valores possíveis de X: 0,1,2,3,4,5.
  • Probabilidades correspondentes: P(X=0)=0,12, P(X=1)=0,24, P(X=2)=0,28, P(X=3)=0,18, P(X=4)=0,10, P(X=5)=0,08.
    A pergunta é: qual a esperança (valor esperado) de X?

Passo 2

Definição e fórmula que vamos usar. A esperança (valor esperado) de uma variável aleatória discreta X é a média ponderada dos valores que X pode assumir, usando as probabilidades como pesos. A fórmula é
\mathbb{E}[X]=\sum_{i} x_i\,P(X=x_i),
onde:
  • x_i são os possíveis valores de X;
  • P(X=x_i) é a probabilidade de X assumir o valor x_i.
    Explicando com palavras: multiplica-se cada valor de X pela sua probabilidade e soma-se tudo. Isso dá a média que se espera em muitas repetições do experimento.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos dados do enunciado: calculamos cada termo x_iP(X=x_i).
  • Para x=0: 0\cdot P(X=0)=0\cdot 0,12=0.
  • Para x=1: 1\cdot P(X=1)=1\cdot 0,24=0,24.
  • Para x=2: 2\cdot P(X=2)=2\cdot 0,28=0,56.
  • Para x=3: 3\cdot P(X=3)=3\cdot 0,18=0,54.
  • Para x=4: 4\cdot P(X=4)=4\cdot 0,10=0,40.
  • Para x=5: 5\cdot P(X=5)=5\cdot 0,08=0,40.

Passo 4

Agora somamos todos os termos calculados para obter \mathbb{E}[X].
Primeiro some alguns pares fáceis:
0,24+0,56=0,80.
Depois:
0,80+0,54=1,34.
E:
1,34+0,40=1,74.
Finalmente:
1,74+0,40=2,14.

Passo 5

Interpretação rápida e dica de prova: \mathbb{E}[X]=2,14 significa que, em média (no sentido de valor esperado), X vale 2,14 se o experimento for repetido muitas vezes. Na prova, calcule os produtos x_iP(X=x_i) um a um e some; é direto e raramente precisa de calculadora quando os números são simples como aqui.

Resposta

\mathbb{E}[X]=2,14

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