Seja X uma variável aleatória discreta com a seguinte função de distribuição acumulada:
F(x)= 0, & se x<0 1 / 2, & se 0 <= x<1 3 / 5 & se 1 <= x<2 4 / 5, & se 2 <= x<3 9 / 10, & se 3 <= x<4 1, & se x >= 4
a) Determine a função de probabilidade de X ;
b) Determine a P(X=0 mid X é par );

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o enunciado pede e que conteúdo a gente vai usar.
Enunciado: X é uma variável aleatória discreta com função de distribuição acumulada (CDF)
F(x)= 0, & x<0, tfrac12, & 0<= x<1, tfrac35, & 1<= x<2, tfrac45, & 2<= x<3, tfrac910, & 3<= x<4, 1, & x>=4
a) A gente quer achar a função de probabilidade P(X=x)=F(x)-limtto x^-F(t) .
b) A gente quer achar P(Amid B)=P(Acap B)P(B) é.
Conteúdo e o que precisamos:
  • Como a CDF de variável discreta gera saltos em cada ponto de massa, a gente usa
  • Definição de probabilidade condicional:
A partir do próximo passo, a gente mete o cálculo em si.

Passo 2

Vamos achar cada P(X=0)=F(0)-limtto0^-F(t) =tfrac12-0 =tfrac12 nos pontos onde a CDF salta, que são P(X=1)=F(1)-limtto1^-F(t) =tfrac35-tfrac12 =tfrac610-tfrac510 =tfrac110 .
  1. Para P(X=2)=F(2)-limtto2^-F(t) =tfrac45-tfrac35 =tfrac810-tfrac610 =tfrac210 =tfrac15 :
P(X=3)=F(3)-limtto3^-F(t) =tfrac910-tfrac45 =tfrac910-tfrac810 =tfrac110
  1. Para P(X=4)=F(4)-limtto4^-F(t) =1-tfrac910 =tfrac110 :
p(x)= tfrac12,&x=0, tfrac110,&x=1, tfrac15,&x=2, tfrac110,&x=3, tfrac110,&x=4, 0,&caso contrário
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Pronto, temos a PMF:
á

Passo 3

Agora P(X=0mid X é par) =P(X=0 wed>= X é par)P(X é par) =P(X=0)P(X=0)+P(X=2)+P(X=4) é.
Definindo eventos:
  • P(X=0mid X é par) =tfrac12tfrac12+tfrac15+tfrac110 =tfrac12tfrac510+tfrac210+tfrac110 =tfrac12tfrac810 =1/24/5 =12cdot54 =58 .
  • é
Pela fórmula de probabilidade condicional:
ééé
Substituindo os valores que achamos:
é

Resposta

a) A função de probabilidade é
p(x)= tfrac12,&x=0, tfrac110,&x=1, tfrac15,&x=2, tfrac110,&x=3, tfrac110,&x=4, 0,&outros x
b) é.

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