Suponha que
seja uma variável aleatória com a seguinte função densidade:
a) Mostre que
é, de fato, uma função densidade;
b) Obtenha a função de distribuição acumulada de X
b) Obtenha a função de distribuição acumulada de X
Passo 1
Beleza, então o que temos aqui? O exercício diz que nossa variável aleatória X tem densidade
Isso cai dentro da matéria de variáveis contínuas – mais especificamente densidades e distribuições acumuladas. Para resolver a) a gente precisa usar o fato de que toda densidade deve integrar 1 em todo o suporte. Para b) a gente vai calcular a função de distribuição acumulada, que é
A partir do próximo passo a gente começa a fazer as contas de verdade.
Passo 2
Parte (a): mostrar que
é de fato uma densidade.
Teoria rápida: uma função densidade precisa satisfazer
Teoria rápida: uma função densidade
-
para todo , -
.
No nosso caso, pra
a densidade é zero (ok, é não-negativa) e pra
,
também é não-negativa porque
e
. Então a condição 1 tá garantida.
Agora a 2:
Agora a 2:
Vamos calcular essa integral. A antiderivada de
em relação a
é
. Então:
Como
,
. Logo
Pronto, a integral dá 1, então
passa no teste de ser densidade.
Passo 3
Parte (b): achar a função de distribuição acumulada
.
Por definição:
Por definição:
Se
, o integrando é zero até
, então
.
Se , a gente integra de 1 até
:
Se
Mesma integral de antes, só que agora o limite superior é
em vez de infinito:
Então fica
Resposta
a)
, logo é densidade.
b)
b)