Suponha que X seja uma variável aleatória com a seguinte função densidade:
f(x)=cc c x^-c-1, x >= 1 & c>0 0, para quaisquer outros valores de x
a) Mostre que f(x) é, de fato, uma função densidade;
b) Obtenha a função de distribuição acumulada de X

Passo 1

Beleza, então o que temos aqui? O exercício diz que nossa variável aleatória X tem densidade
f(x)= c,x^-c-1, & x>=1,;c>0, 0,&caso contrário á
Isso cai dentro da matéria de variáveis contínuas – mais especificamente densidades e distribuições acumuladas. Para resolver a) a gente precisa usar o fato de que toda densidade deve integrar 1 em todo o suporte. Para b) a gente vai calcular a função de distribuição acumulada, que é
F(x)=P(X<= x)=integral-infty^x f(t),dt
A partir do próximo passo a gente começa a fazer as contas de verdade.

Passo 2

Parte (a): mostrar que integral-infty^inftyf(x),dx = integral1^infty c,x^-c-1,dx é de fato uma densidade.
Teoria rápida: uma função densidade integral1^infty c,x^-c-1,dx = c;l[x^-c-cr]1^infty = -l[x^-cr]1^infty = -l(limxtoinftyx^-c - 1^-cr) precisa satisfazer
  1. -l(0 - 1r)=1 para todo ,
  2. .
No nosso caso, pra a densidade é zero (ok, é não-negativa) e pra , também é não-negativa porque e . Então a condição 1 tá garantida.
Agora a 2:
Vamos calcular essa integral. A antiderivada de em relação a é . Então:
Como , . Logo
Pronto, a integral dá 1, então passa no teste de ser densidade.

Passo 3

Parte (b): achar a função de distribuição acumulada F(x)=integral-infty^x f(t),dt .
Por definição:
F(x)=integral1^x c,t^-c-1,dt
Se integral1^x c,t^-c-1,dt = -l[t^-cr]1^x = -l(x^-c-1^-cr) = 1 - x^-c , o integrando é zero até F(x)= 0, & x<1, 1 - x^-c, & x>=1 , então .
Se , a gente integra de 1 até :
Mesma integral de antes, só que agora o limite superior é em vez de infinito:
Então fica

Resposta

a) 0,&x<1, 1 - x^-c,&x>=1 , logo é densidade.
b)

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