Seja X uma variável aleatória com distribuição Normal, com média 64 e variância 16, ou seja, X \sim N(64,16), calcule:
P(59 \leq X \leq 75)

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma probabilidade:
  • A variável aleatória X tem distribuição normal com média 64 e variância 16. Ou seja, \,X\sim N(64,16)\,.
  • A variância é \,16, portanto o desvio padrão é \,\sqrt{16}=4.
  • A pergunta é: calcular \;P(59 \leq X \leq 75).

Passo 2

Ideia do cálculo (explicada passo a passo, sem pular etapas).
  • Para trabalhar com probabilidades de uma normal com média e desvio padrão quaisquer, a técnica padrão é transformar (padronizar) para a normal padrão Z, que tem média 0 e desvio 1.
  • Definimos \;Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}, onde \mu é a média de X e \sigma o desvio padrão de X.
  • Depois dessa transformação, probabilidades como \;P(a\le X\le b) viram \;P\big(\dfrac{a-\mu}{\sigma}\le Z\le \dfrac{b-\mu}{\sigma}\big), e essas probabilidades são lidas na tabela/CDF da normal padrão (ou calculadora).

Passo 3

Aplicando a padronização ao nosso intervalo.
  • Aqui \mu=64 e \sigma=4.
  • Padronizamos os extremos:
\frac{59-64}{4}=\frac{-5}{4}=-1,25
\frac{75-64}{4}=\frac{11}{4}=2,75
  • Portanto
P(59\le X\le75)=P(-1,25\le Z\le 2,75).

Passo 4

Expressar a probabilidade em termos da função de distribuição da normal padrão.
  • Denotamos por \Phi(t) a função de distribuição da normal padrão, isto é \Phi(t)=P(Z\le t).
  • Então
P(-1,25\le Z\le 2,75)=\Phi(2,75)-\Phi(-1,25).
  • Usamos a simetria da normal padrão: para a>0 vale \Phi(-a)=1-\Phi(a). Assim
\Phi(-1,25)=1-\Phi(1,25).
  • Substituindo:
P(-1,25\le Z\le 2,75)=\Phi(2,75)-\big(1-\Phi(1,25)\big)=\Phi(2,75)+\Phi(1,25)-1.

Passo 5

Obter valores numéricos na tabela/CDF e calcular.
  • Valores da tabela da normal padrão (ou calculadora):
    \Phi(1,25)\approx 0,89435 e \Phi(2,75)\approx 0,99702.
  • Substituindo na expressão:
P(59\le X\le75)\approx 0,99702+0,89435-1=0,89137.
  • Arredondando para quatro casas decimais (prática comum em provas):
P(59\le X\le75)\approx 0,8914.

Resposta

0,8914

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