Seja X uma variável aleatória com distribuição Normal, com média 64 e variância 16, ou seja, X \sim N(64,16), calcule:
P(65 \leq X \leq 72)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Informação: X é uma variável aleatória com distribuição Normal de média \mu=64 e variância \sigma^{2}=16. Ou seja, X\sim N(64,16).
  • Informação implícita: a desvio-padrão é \sigma=\sqrt{16} (a calcular).
  • Pedido: calcular a probabilidade \;P(65\leq X\leq 72).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (mini-aula): para uma Normal com média \mu e desvio-padrão \sigma podemos transformar X numa Normal padrão Z (média 0, variância 1) usando a padronização
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui Z tem distribuição N(0,1). A razão para fazer isso é que as tabelas e funções acumuladas (denotadas por \Phi) são calculadas para essa Normal padrão. A função \Phi(t) é a probabilidade acumulada até t:
\Phi(t)=P(Z\leq t).
Assim, qualquer probabilidade para X pode ser escrita em termos de \Phi.

Passo 3

Calcular o desvio-padrão \sigma a partir da variância: como \sigma^{2}=16,
\sigma=\sqrt{16}=4.
Anota aí: \mu=64 e \sigma=4.

Passo 4

Padronizar os limites 65 e 72. Calculamos os respectivos z-scores usando \;z=(x-\mu)/\sigma\;:
  • Para x=65:
z_{1}=\frac{65-64}{4}=\frac{1}{4}=0,25.
  • Para x=72:
z_{2}=\frac{72-64}{4}=\frac{8}{4}=2.

Passo 5

Escrever a probabilidade em termos de Z e da função \Phi. Temos
P(65\leq X\leq 72)=P\!\left(0,25\leq Z\leq 2\right).
Usando a definição de \Phi,
P\!\left(0,25\leq Z\leq 2\right)=\Phi(2)-\Phi(0,25).
Explicando: \Phi(2) é P(Z\leq 2) e \Phi(0,25) é P(Z\leq 0,25); a diferença dá a probabilidade entre os dois pontos.

Passo 6

Obter os valores de \Phi a partir da tabela da Normal padrão ou de calculadora (valores padrão):
\Phi(2)\approx 0,97725,
\Phi(0,25)\approx 0,59871.
(essas são aproximações usuais de tabela; pode haver pequenas variações de arredondamento em diferentes tabelas/calculadoras.)

Passo 7

Subtrair para obter a probabilidade buscada:
P(65\leq X\leq 72)=0,97725-0,59871=0,37854\approx 0,3785.
Interpretação rápida: cerca de 37,85\% da massa da Normal N(64,16) está entre 65 e 72. Bom para conferir: 65 fica apenas 0,25 desvios-padrão acima da média (muito próximo), e 72 fica 2 desvios-padrão acima; faz sentido um percentual moderado como ~38%.

Passo 8

Dica para a prova: sempre padronize com \;Z=(X-\mu)/\sigma\;, calcule os dois z-scores e use \Phi(z_2)-\Phi(z_1). Se só tiver tabela com valores positivos e negativos, use a simetria \Phi(-t)=1-\Phi(t) quando precisar. Você já fez isso aqui; tranquilo — respira fundo e repete o processo em outros intervalos!

Resposta

P(65\leq X\leq 72)=0,3785

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