Seja X uma variável aleatória com distribuição Normal, com média 64 e variância 16, ou seja,
, calcule:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Informação:
é uma variável aleatória com distribuição Normal de média e variância . Ou seja, . - Informação implícita: a desvio-padrão é
(a calcular). - Pedido: calcular a probabilidade
.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (mini-aula): para uma Normal com média
e desvio-padrão
podemos transformar
numa Normal padrão
(média
, variância
) usando a padronização
Aqui
tem distribuição
. A razão para fazer isso é que as tabelas e funções acumuladas (denotadas por
) são calculadas para essa Normal padrão. A função
é a probabilidade acumulada até
:
Assim, qualquer probabilidade para
pode ser escrita em termos de
.
Passo 3
Calcular o desvio-padrão
a partir da variância: como
,
Anota aí:
e
.
Passo 4
Padronizar os limites
e
. Calculamos os respectivos
-scores usando
:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Escrever a probabilidade em termos de
e da função
. Temos
Usando a definição de
,
Explicando:
é
e
é
; a diferença dá a probabilidade entre os dois pontos.
Passo 6
Obter os valores de
a partir da tabela da Normal padrão ou de calculadora (valores padrão):
(essas são aproximações usuais de tabela; pode haver pequenas variações de arredondamento em diferentes tabelas/calculadoras.)
Passo 7
Subtrair para obter a probabilidade buscada:
Interpretação rápida: cerca de
da massa da Normal
está entre
e
. Bom para conferir:
fica apenas
desvios-padrão acima da média (muito próximo), e
fica
desvios-padrão acima; faz sentido um percentual moderado como ~38%.
Passo 8
Dica para a prova: sempre padronize com
, calcule os dois
-scores e use
. Se só tiver tabela com valores positivos e negativos, use a simetria
quando precisar. Você já fez isso aqui; tranquilo — respira fundo e repete o processo em outros intervalos!