Suponha que 25 \% de todos os motoristas habilitados de um determinado estado não tenham seguro. Seja X o número de motoristas sem seguro em uma amostra aleatória de tamanho 50. Calcule a probabilidade de que no máximo 15 motoristas não tenham seguro.

Passo 1

O enunciado dá que 25\% dos motoristas não têm seguro e que escolhemos uma amostra aleatória de tamanho 50. Define-se X como o número de motoristas sem seguro nessa amostra. A pergunta é: qual a probabilidade de que, nessa amostra, no máximo 15 motoristas não tenham seguro? Ou seja, precisamos calcular \mathbb{P}(X \le 15). Informações relevantes: p=0{,}25 (probabilidade individual), n=50 (tamanho da amostra) e queremos a probabilidade cumulativa até 15.

Passo 2

Modelo probabilístico e fórmula exata (o que a questão implica).
Quando temos um número fixo n de ensaios independentes, cada um com probabilidade p de “sucesso” (aqui “ter sem seguro”), a variável X que conta o número de sucessos segue a distribuição binomial. Escrevemos isso como X \sim \text{Binomial}(n,p). A probabilidade exata de obter exatamente k sucessos é dada por:
\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k},
onde \binom{n}{k} é o coeficiente binomial que conta as formas de escolher k entre n. Para nosso caso: n=50 e p=0{,}25. A probabilidade desejada exata é
\mathbb{P}(X\le 15)=\sum_{k=0}^{15}\binom{50}{k}\,0{,}25^{\,k}\,0{,}75^{\,50-k}.
Na prova, essa soma exata pode ser computada com uma calculadora científica, tabela ou software. Se você não tem esses recursos, usamos aproximações.

Passo 3

Escolha do método de aproximação e justificativa.
Somar diretamente os termos da binomial é trabalhoso sem calculadora. Uma aproximação padrão e segura é aproximar a binomial por uma normal quando tanto np quanto n(1-p) não são muito pequenos. Calculamos:
np=50\cdot0{,}25=12{,}5,\qquad n(1-p)=50\cdot0{,}75=37{,}5.
Ambos são razoavelmente grandes (regra prática: valores maiores que cerca de 10 tornam a aproximação aceitável). Portanto vamos usar a aproximação normal com correção de continuidade — é um método simples de aplicar na prova sem soma pesada e costuma dar boa precisão aqui.

Passo 4

Parâmetros da normal de aproximação e a correção de continuidade.
Para X\sim\text{Binomial}(n,p), a média e a variância são:
\mu = np,\qquad \sigma^2 = np(1-p).
Aqui:
\mu = 12{,}5, \qquad \sigma^2 = 50\cdot0{,}25\cdot0{,}75 = 9{,}375, \qquad \sigma = \sqrt{9{,}375}\approx 3{,}061862.
A correção de continuidade corrige o fato de que a binomial é discreta enquanto a normal é contínua. Para \mathbb{P}(X\le 15) usamos o ponto 15{,}5 como limite superior contínuo. Assim:
\mathbb{P}(X\le 15)\approx \mathbb{P}\!\big(Z \le \tfrac{15{,}5-\mu}{\sigma}\big),
onde Z é uma normal padrão N(0,1).

Passo 5

Cálculo do escore z e consulta da tabela da normal padrão.
Calculemos o valor de z:
z=\frac{15{,}5-12{,}5}{3{,}061862}=\frac{3{,}0}{3{,}061862}\approx 0{,}9805807.
Agora usamos a tabela da normal padrão (ou uma função \Phi de calculadora) para obter \Phi(z)=\mathbb{P}(Z\le z). Para z\approx 0{,}9806 a tabela dá aproximadamente
\Phi(0{,}9806)\approx 0{,}8368.
Portanto, pela aproximação normal com correção de continuidade,
\mathbb{P}(X\le 15)\approx 0{,}8368.

Passo 6

Interpretação e observações finais.
  • A resposta acima é uma aproximação bastante boa dada a validade da aproximação normal neste caso.
  • Se quiser a probabilidade exata, calcule a soma da fórmula binomial do Passo 2 com uma calculadora estatística ou software; o valor exato difere muito pouco da aproximação (mesma ordem de grandeza).
  • Na prova sem calculadora, essa técnica (média/variância da binomial + correção de continuidade + tabela Z) é a forma prática de obter a resposta.

Resposta

\approx 0{,}8368

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