Suponha que
de todos os motoristas habilitados de um determinado estado não tenham seguro. Seja X o número de motoristas sem seguro em uma amostra aleatória de tamanho 50. Calcule a probabilidade de que no máximo 15 motoristas não tenham seguro.
Passo 1
O enunciado dá que
dos motoristas não têm seguro e que escolhemos uma amostra aleatória de tamanho
. Define-se
como o número de motoristas sem seguro nessa amostra. A pergunta é: qual a probabilidade de que, nessa amostra, no máximo
motoristas não tenham seguro? Ou seja, precisamos calcular
. Informações relevantes:
(probabilidade individual),
(tamanho da amostra) e queremos a probabilidade cumulativa até
.
Passo 2
Modelo probabilístico e fórmula exata (o que a questão implica).
Quando temos um número fixo de ensaios independentes, cada um com probabilidade
de “sucesso” (aqui “ter sem seguro”), a variável
que conta o número de sucessos segue a distribuição binomial. Escrevemos isso como
. A probabilidade exata de obter exatamente
sucessos é dada por:
Quando temos um número fixo
onde
é o coeficiente binomial que conta as formas de escolher
entre
. Para nosso caso:
e
. A probabilidade desejada exata é
Na prova, essa soma exata pode ser computada com uma calculadora científica, tabela ou software. Se você não tem esses recursos, usamos aproximações.
Passo 3
Escolha do método de aproximação e justificativa.
Somar diretamente os termos da binomial é trabalhoso sem calculadora. Uma aproximação padrão e segura é aproximar a binomial por uma normal quando tanto quanto
não são muito pequenos. Calculamos:
Somar diretamente os termos da binomial é trabalhoso sem calculadora. Uma aproximação padrão e segura é aproximar a binomial por uma normal quando tanto
Ambos são razoavelmente grandes (regra prática: valores maiores que cerca de
tornam a aproximação aceitável). Portanto vamos usar a aproximação normal com correção de continuidade — é um método simples de aplicar na prova sem soma pesada e costuma dar boa precisão aqui.
Passo 4
Parâmetros da normal de aproximação e a correção de continuidade.
Para , a média e a variância são:
Para
Aqui:
A correção de continuidade corrige o fato de que a binomial é discreta enquanto a normal é contínua. Para
usamos o ponto
como limite superior contínuo. Assim:
onde
é uma normal padrão
.
Passo 5
Cálculo do escore
e consulta da tabela da normal padrão.
Calculemos o valor de :
Calculemos o valor de
Agora usamos a tabela da normal padrão (ou uma função
de calculadora) para obter
. Para
a tabela dá aproximadamente
Portanto, pela aproximação normal com correção de continuidade,
Passo 6
Interpretação e observações finais.
- A resposta acima é uma aproximação bastante boa dada a validade da aproximação normal neste caso.
- Se quiser a probabilidade exata, calcule a soma da fórmula binomial do Passo 2 com uma calculadora estatística ou software; o valor exato difere muito pouco da aproximação (mesma ordem de grandeza).
- Na prova sem calculadora, essa técnica (média/variância da binomial + correção de continuidade + tabela
) é a forma prática de obter a resposta.