Seja
um campo vetorial contínuo em
. Justifique as igualdades.
, onde
, e
.
Passo 1
O enunciado pede que justifiquemos a igualdade
Dados fornecidos:
-
é um campo vetorial contínuo em . - A curva
é dada por , com . - A curva
é dada por , com . - A tarefa é justificar, passo a passo, por que a integral de linha de
ao longo de é o negativo da integral ao longo de .
Passo 2
Definição e ideia essencial (aula rápida): a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva parametrizada
,
, é dada por
Aqui:
-
é a derivada da parametrização (vetor tangente), componente a componente; - o ponto
é o produto escalar usual entre vetores em ; - a continuidade de
garante que a função integranda é integrável em .
Intuição prática: mudar a parametrização de uma curva muda a variável de integração; se invertemos a orientação da curva, o vetor tangente troca de sinal e a integral muda de sinal.
Passo 3
Relacionando as parametrizações: observe que, para todo
em
,
Portanto
é a mesma curva geométrica que
, mas percorrida com a parametrização
(isto é, orientação oposta). Agora calculemos as derivadas:
Logo, explicitamente,
Passo 4
Escrevemos a integral ao longo de
em forma paramétrica e substituímos as relações encontradas:
Usando
e
, obtemos
Passo 5
Fazer a mudança de variável para voltar à integral em
: deixe
. Então
. Quando
temos
; quando
temos
. Substituindo na integral do Passo 4,
O fator
vem de
. Simplificando os sinais:
Trocar os limites de integração (usar
) dá
Portanto juntando tudo,
Passo 6
Interpretação geométrica e conclusão geral:
percorre o mesmo círculo que
mas no sentido contrário; por isso o vetor tangente em cada ponto é o oposto do vetor tangente correspondente em
. A fórmula da integral de linha mostra que trocar a orientação de uma curva muda o sinal da integral:
quando
é a parametrização de
com orientação invertida. Aplicando isso ao caso concreto obtemos a igualdade desejada.