Seja \vec{F} um campo vetorial contínuo em \mathbb{R}^{2}. Justifique as igualdades.
\int_{\gamma_{1}} \vec{F} \cdot d \gamma_{1}=-\int_{\gamma_{2}} \vec{F} \cdot d \gamma_{2}, onde \gamma_{1}(t)=(\cos t, \operatorname{sen} t), \operatorname{com} 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi, e \gamma_{2}(u)= (\cos (2 \pi-u), \operatorname{sen}(2 \pi-u)), 0 \leqslant u \leqslant 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede que justifiquemos a igualdade
\int_{\gamma_{1}} \vec{F}\cdot d\gamma_{1} = -\int_{\gamma_{2}} \vec{F}\cdot d\gamma_{2}.
Dados fornecidos:
  • \vec{F} é um campo vetorial contínuo em \mathbb{R}^2.
  • A curva \gamma_{1} é dada por \gamma_{1}(t)=(\cos t,\;\sin t), com 0\le t\le 2\pi.
  • A curva \gamma_{2} é dada por \gamma_{2}(u)=(\cos(2\pi-u),\;\sin(2\pi-u)), com 0\le u\le 2\pi.
  • A tarefa é justificar, passo a passo, por que a integral de linha de \vec{F} ao longo de \gamma_{1} é o negativo da integral ao longo de \gamma_{2}.

Passo 2

Definição e ideia essencial (aula rápida): a integral de linha de um campo vetorial \vec{F} ao longo de uma curva parametrizada \gamma(s), a\le s\le b, é dada por
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\gamma=\int_{a}^{b}\vec{F}\big(\gamma(s)\big)\cdot \gamma'(s)\,ds.
Aqui:
  • \gamma'(s) é a derivada da parametrização (vetor tangente), componente a componente;
  • o ponto \cdot é o produto escalar usual entre vetores em \mathbb{R}^2;
  • a continuidade de \vec{F} garante que a função integranda \vec{F}(\gamma(s))\cdot\gamma'(s) é integrável em [a,b].
    Intuição prática: mudar a parametrização de uma curva muda a variável de integração; se invertemos a orientação da curva, o vetor tangente troca de sinal e a integral muda de sinal.

Passo 3

Relacionando as parametrizações: observe que, para todo u em [0,2\pi],
\gamma_{2}(u)=(\cos(2\pi-u),\;\sin(2\pi-u))=\gamma_{1}(2\pi-u).
Portanto \gamma_{2} é a mesma curva geométrica que \gamma_{1}, mas percorrida com a parametrização s=2\pi-u (isto é, orientação oposta). Agora calculemos as derivadas:
\gamma_{1}'(t)=(-\sin t,\;\cos t),
\gamma_{2}'(u)=\frac{d}{du}\big(\gamma_{1}(2\pi-u)\big) =\gamma_{1}'(2\pi-u)\cdot(2\pi-u)'=\gamma_{1}'(2\pi-u)\cdot(-1).
Logo, explicitamente,
\gamma_{2}'(u)=-\gamma_{1}'(2\pi-u).

Passo 4

Escrevemos a integral ao longo de \gamma_{2} em forma paramétrica e substituímos as relações encontradas:
\int_{\gamma_{2}}\vec{F}\cdot d\gamma_{2} =\int_{0}^{2\pi}\vec{F}\big(\gamma_{2}(u)\big)\cdot\gamma_{2}'(u)\,du.
Usando \gamma_{2}(u)=\gamma_{1}(2\pi-u) e \gamma_{2}'(u)=-\gamma_{1}'(2\pi-u), obtemos
\int_{\gamma_{2}}\vec{F}\cdot d\gamma_{2} =\int_{0}^{2\pi}\vec{F}\big(\gamma_{1}(2\pi-u)\big)\cdot\big(-\gamma_{1}'(2\pi-u)\big)\,du =-\int_{0}^{2\pi}\vec{F}\big(\gamma_{1}(2\pi-u)\big)\cdot\gamma_{1}'(2\pi-u)\,du.

Passo 5

Fazer a mudança de variável para voltar à integral em t: deixe s=2\pi-u. Então ds=-du. Quando u=0 temos s=2\pi; quando u=2\pi temos s=0. Substituindo na integral do Passo 4,
-\int_{0}^{2\pi}\vec{F}\big(\gamma_{1}(2\pi-u)\big)\cdot\gamma_{1}'(2\pi-u)\,du =-\int_{s=2\pi}^{s=0}\vec{F}\big(\gamma_{1}(s)\big)\cdot\gamma_{1}'(s)\,(-ds).
O fator (-ds) vem de du=-ds. Simplificando os sinais:
-\int_{s=2\pi}^{s=0}\vec{F}\big(\gamma_{1}(s)\big)\cdot\gamma_{1}'(s)\,(-ds) =-\big(-1\big)\int_{2\pi}^{0}\vec{F}\big(\gamma_{1}(s)\big)\cdot\gamma_{1}'(s)\,ds =\int_{2\pi}^{0}\vec{F}\big(\gamma_{1}(s)\big)\cdot\gamma_{1}'(s)\,ds.
Trocar os limites de integração (usar \int_{a}^{b}=\,-\int_{b}^{a}) dá
\int_{2\pi}^{0}\vec{F}\big(\gamma_{1}(s)\big)\cdot\gamma_{1}'(s)\,ds =-\int_{0}^{2\pi}\vec{F}\big(\gamma_{1}(s)\big)\cdot\gamma_{1}'(s)\,ds.
Portanto juntando tudo,
\int_{\gamma_{2}}\vec{F}\cdot d\gamma_{2} =-\int_{0}^{2\pi}\vec{F}\big(\gamma_{1}(s)\big)\cdot\gamma_{1}'(s)\,ds =-\int_{\gamma_{1}}\vec{F}\cdot d\gamma_{1}.

Passo 6

Interpretação geométrica e conclusão geral: \gamma_{2} percorre o mesmo círculo que \gamma_{1} mas no sentido contrário; por isso o vetor tangente em cada ponto é o oposto do vetor tangente correspondente em \gamma_{1}. A fórmula da integral de linha mostra que trocar a orientação de uma curva muda o sinal da integral:
\int_{\overline{\gamma}}\vec{F}\cdot d\overline{\gamma}=-\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\gamma,
quando \overline{\gamma} é a parametrização de \gamma com orientação invertida. Aplicando isso ao caso concreto obtemos a igualdade desejada.

Resposta

\displaystyle \int_{\gamma_{1}} \vec{F}\cdot d\gamma_{1}=-\int_{\gamma_{2}} \vec{F}\cdot d\gamma_{2}

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