Seja \vec{F}: I \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma função três vezes derivável em I.
\left(\vec{F}^{\prime} \times \vec{F}\right)^{\prime \prime}=\vec{F} \prime^{\prime \prime} \times \vec{F}

Passo 1

O enunciado dá uma função \vec{F}:I\to\mathbb{R}^3 com derivadas até terceira ordem em I e afirma a igualdade
\left(\vec{F}'\times\vec{F}\right)''=\vec{F}\prime^{\prime \prime}\times\vec{F}.
O que nos pedem é verificar (provar ou refutar) essa igualdade. As informações relevantes que temos:
  • \vec{F} é três vezes derivável em I;
  • operações envolvidas: derivação (com respeito à variável, digamos t) e produto vetorial \times.

Passo 2

Regra de derivação do produto vetorial (a ferramenta principal). Se \vec{u}(t) e \vec{v}(t) são vetores diferenciáveis em t, então a derivada do produto vetorial satisfaz a regra do produto análoga à do produto escalar:
\frac{d}{dt}\big(\vec{u}\times\vec{v}\big)=\vec{u}'\times\vec{v}+\vec{u}\times\vec{v}'.
Explicando devagar por que isso vale: o produto vetorial é bilinear e cada componente do vetor resultante é combinação linear dos produtos das coordenadas de \vec{u} e \vec{v}. Aplicando a regra da derivada (soma de derivadas de termos do tipo produto escalar de funções escalares) obtemos exatamente a fórmula acima. Em palavras: diferencia-se cada fator mantendo o outro fixo, somando os dois resultados.

Passo 3

Aplicar a regra ao primeiro passo, isto é, calcular a primeira derivada de \vec{G}(t):=\vec{F}'(t)\times\vec{F}(t). Usando a fórmula do passo anterior com \vec{u}=\vec{F}' e \vec{v}=\vec{F},
\vec{G}'=\frac{d}{dt}\big(\vec{F}'\times\vec{F}\big)=\vec{F}''\times\vec{F}+\vec{F}'\times\vec{F}'.
Agora uma observação simples e muito útil: para qualquer vetor \vec{a} vale \vec{a}\times\vec{a}=\vec{0} (produto vetorial de um vetor por ele mesmo é o vetor nulo). Portanto \vec{F}'\times\vec{F}'=\vec{0}. Assim simplificamos:
\vec{G}'=\vec{F}''\times\vec{F}.

Passo 4

Agora derivamos mais uma vez para obter \vec{G}''. Aplicamos novamente a regra do produto vetorial a \vec{G}'=\vec{F}''\times\vec{F}, com \vec{u}=\vec{F}'' e \vec{v}=\vec{F}:
\vec{G}''=\frac{d}{dt}\big(\vec{F}''\times\vec{F}\big)=\vec{F}'''\times\vec{F}+\vec{F}''\times\vec{F}'.
Portanto, em forma explícita,
\boxed{\;(\vec{F}'\times\vec{F})''=\vec{F}'''\times\vec{F}+\vec{F}''\times\vec{F}'\;}.
Isto é a expressão correta obtida através das regras de derivação; observe que aparece o termo extra \vec{F}''\times\vec{F}' que, em geral, não é nulo.

Passo 5

Concluir sobre a igualdade dada no enunciado. A igualdade proposta no enunciado
\left(\vec{F}'\times\vec{F}\right)''=\vec{F}\prime^{\prime \prime}\times\vec{F}
é, em geral, falsa, porque a derivação correta (vista no passo anterior) fornece um termo adicional \vec{F}''\times\vec{F}' que não desaparece em geral. Logo a igualdade só seria verdadeira em casos particulares onde esse termo extra seja nulo para todo t (por exemplo, se \vec{F}''(t) e \vec{F}'(t) forem sempre paralelos).

Passo 6

Mostrar um contraexemplo concreto e simples (para fixar a ideia). Tome
\vec{F}(t)=(0,t,t^2).
Então
\vec{F}'(t)=(0,1,2t),\qquad \vec{F}''(t)=(0,0,2),\qquad \vec{F}'''(t)=(0,0,0).
Calcule \vec{F}'\times\vec{F}:
\vec{F}'\times\vec{F}=(0,1,2t)\times(0,t,t^2)=(-t^2,0,0).
Duas derivadas em relação a t dão
(\vec{F}'\times\vec{F})' =(-2t,0,0),\qquad (\vec{F}'\times\vec{F})'' =(-2,0,0).
Agora calcule \vec{F}''\times\vec{F}:
\vec{F}''\times\vec{F}=(0,0,2)\times(0,t,t^2)=(-2t,0,0).
Comparando vemos que (\vec{F}'\times\vec{F})''=(-2,0,0) enquanto \vec{F}''\times\vec{F}=(-2t,0,0); são diferentes (dependência em t distinta). Isso mostra explicitamente que a igualdade dada é falsa. Verificando a fórmula correta do passo 4:
\vec{F}'''\times\vec{F}+\vec{F}''\times\vec{F}'=(0,0,0)\times\vec{F}+(-2,0,0)=(-2,0,0),
que coincide com (\vec{F}'\times\vec{F})'', confirmando a fórmula correta.

Passo 7

Observação final (quando a igualdade original é válida): a igualdade
(\vec{F}'\times\vec{F})''=\vec{F}''\times\vec{F}
seria verdadeira somente se \vec{F}''\times\vec{F}'=\vec{0} para todo t\in I, ou seja, quando \vec{F}''(t) e \vec{F}'(t) forem paralelos em cada ponto (caso muito especial). Para a maioria das curvas essa condição não vale, portanto a forma geral é a do passo 4.

Resposta

A igualdade é falsa. A identidade correta é (\vec{F}'\times\vec{F})''=\vec{F}'''\times\vec{F}+\vec{F}''\times\vec{F}'.

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