Seja
uma função três vezes derivável em
.
Passo 1
O enunciado dá uma função
com derivadas até terceira ordem em
e afirma a igualdade
O que nos pedem é verificar (provar ou refutar) essa igualdade. As informações relevantes que temos:
-
é três vezes derivável em ; - operações envolvidas: derivação (com respeito à variável, digamos
) e produto vetorial .
Passo 2
Regra de derivação do produto vetorial (a ferramenta principal). Se
e
são vetores diferenciáveis em
, então a derivada do produto vetorial satisfaz a regra do produto análoga à do produto escalar:
Explicando devagar por que isso vale: o produto vetorial é bilinear e cada componente do vetor resultante é combinação linear dos produtos das coordenadas de
e
. Aplicando a regra da derivada (soma de derivadas de termos do tipo produto escalar de funções escalares) obtemos exatamente a fórmula acima. Em palavras: diferencia-se cada fator mantendo o outro fixo, somando os dois resultados.
Passo 3
Aplicar a regra ao primeiro passo, isto é, calcular a primeira derivada de
. Usando a fórmula do passo anterior com
e
,
Agora uma observação simples e muito útil: para qualquer vetor
vale
(produto vetorial de um vetor por ele mesmo é o vetor nulo). Portanto
. Assim simplificamos:
Passo 4
Agora derivamos mais uma vez para obter
. Aplicamos novamente a regra do produto vetorial a
, com
e
:
Portanto, em forma explícita,
Isto é a expressão correta obtida através das regras de derivação; observe que aparece o termo extra
que, em geral, não é nulo.
Passo 5
Concluir sobre a igualdade dada no enunciado. A igualdade proposta no enunciado
é, em geral, falsa, porque a derivação correta (vista no passo anterior) fornece um termo adicional
que não desaparece em geral. Logo a igualdade só seria verdadeira em casos particulares onde esse termo extra seja nulo para todo
(por exemplo, se
e
forem sempre paralelos).
Passo 6
Mostrar um contraexemplo concreto e simples (para fixar a ideia). Tome
Então
Calcule
:
Duas derivadas em relação a
dão
Agora calcule
:
Comparando vemos que
enquanto
; são diferentes (dependência em
distinta). Isso mostra explicitamente que a igualdade dada é falsa. Verificando a fórmula correta do passo 4:
que coincide com
, confirmando a fórmula correta.
Passo 7
Observação final (quando a igualdade original é válida): a igualdade
seria verdadeira somente se
para todo
, ou seja, quando
e
forem paralelos em cada ponto (caso muito especial). Para a maioria das curvas essa condição não vale, portanto a forma geral é a do passo 4.
Resposta
A igualdade é falsa. A identidade correta é
.