Sejam
e
vetores em
. Seja
um produto interno em
. Dados os vetores
e o escalar
, verifique que as igualdades dadas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá explicitamente o produto interno em
e os vetores
A pergunta que vamos verificar é a igualdade
Passo 2
Vamos lembrar uma propriedade básica da multiplicação de números reais: a multiplicação é comutativa, isto é, para quaisquer reais
e
vale
.
Aqui cada termo do produto interno é um produto de números reais (por exemplo ). Usando a comutatividade desses produtos podemos trocar a ordem dos fatores sem alterar o resultado. Isso é a chave para mostrar a igualdade pedida.
Aqui cada termo do produto interno é um produto de números reais (por exemplo
Passo 3
Fazendo a demonstração algébrica diretamente a partir da definição do produto interno:
Pelo fato de
e
(comutatividade), segue
Portanto, de forma geral (para quaisquer vetores em
com esse produto), o produto interno é simétrico.
Passo 4
Agora vou confirmar numericamente com os vetores dados: calculemos
com
e
.
Calcule cada termo:
Somando:
Passo 5
Agora calcule
trocando a ordem:
Observe que são os mesmos fatores em ordens trocadas; calculando:
logo
Assim, numericamente também obtemos o mesmo resultado.
Passo 6
Conclusão: por razão algébrica (comutatividade da multiplicação) e por verificação numérica com os vetores dados, temos
. Boa — mais uma propriedade verificada; respira fundo, você mandou bem!