Sejam u=\left(u_{1}, u_{2}\right) e v=\left(v_{1}, v_{2}\right) vetores em \mathbb{R}^{2}. Seja \langle u, v\rangle=4 u_{1} v_{1}+5 u_{2} v_{2} um produto interno em \mathbb{R}^{2}. Dados os vetores u=(3,-2), v=(4,5), w=(-1,6) e o escalar k=-4, verifique que as igualdades dadas são verdadeiras.
\langle u, v\rangle=\langle v, u\rangle

Passo 1

O enunciado dá explicitamente o produto interno em \mathbb{R}^2
\langle u,v\rangle = 4 u_{1} v_{1} + 5 u_{2} v_{2}
e os vetores
u=(3,-2),\qquad v=(4,5),\qquad w=(-1,6),\qquad k=-4.
A pergunta que vamos verificar é a igualdade
\langle u, v\rangle = \langle v, u\rangle.

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade básica da multiplicação de números reais: a multiplicação é comutativa, isto é, para quaisquer reais a e b vale a b = b a.
Aqui cada termo do produto interno é um produto de números reais (por exemplo u_1 v_1). Usando a comutatividade desses produtos podemos trocar a ordem dos fatores sem alterar o resultado. Isso é a chave para mostrar a igualdade pedida.

Passo 3

Fazendo a demonstração algébrica diretamente a partir da definição do produto interno:
\langle u,v\rangle = 4 u_{1} v_{1} + 5 u_{2} v_{2}.
Pelo fato de u_{1} v_{1} = v_{1} u_{1} e u_{2} v_{2} = v_{2} u_{2} (comutatividade), segue
\langle u,v\rangle = 4 v_{1} u_{1} + 5 v_{2} u_{2} = \langle v,u\rangle.
Portanto, de forma geral (para quaisquer vetores em \mathbb{R}^2 com esse produto), o produto interno é simétrico.

Passo 4

Agora vou confirmar numericamente com os vetores dados: calculemos \langle u,v\rangle com u=(3,-2) e v=(4,5).
\langle u,v\rangle = 4\cdot 3 \cdot 4 + 5\cdot(-2)\cdot 5.
Calcule cada termo:
4\cdot 3 \cdot 4 = 48,\qquad 5\cdot(-2)\cdot 5 = -50.
Somando:
\langle u,v\rangle = 48 + (-50) = -2.

Passo 5

Agora calcule \langle v,u\rangle trocando a ordem:
\langle v,u\rangle = 4\cdot 4 \cdot 3 + 5\cdot 5 \cdot (-2).
Observe que são os mesmos fatores em ordens trocadas; calculando:
4\cdot 4 \cdot 3 = 48,\qquad 5\cdot 5 \cdot (-2) = -50,
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\langle v,u\rangle = 48 + (-50) = -2.
Assim, numericamente também obtemos o mesmo resultado.

Passo 6

Conclusão: por razão algébrica (comutatividade da multiplicação) e por verificação numérica com os vetores dados, temos \langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle. Boa — mais uma propriedade verificada; respira fundo, você mandou bem!

Resposta

\langle u, v\rangle=\langle v, u\rangle=-2

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