Considere o produto interno
, onde
e
são polinômios quaisquer em
. Em cada parte, encontre o cosseno do ângulo entre
e
.
Passo 1
O enunciado dá o produto interno
onde
e
. Os polinômios fornecidos são:
-
, portanto , , . -
, portanto , , .
O que é pedido: encontrar o cosseno do ângulo entre
e
, isto é, calcular o valor de
onde
é o ângulo entre esses dois vetores (polinômios) no espaço com o produto interno dado.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (guarde-a para a prova): para dois vetores
e
em um espaço com produto interno, o cosseno do ângulo entre eles é
onde a norma
é definida por
.
Explicando bem devagar:
-
é o produto interno (aqui, soma dos produtos das coordenadas). -
é a soma dos quadrados das coordenadas de ; a raiz quadrada disso dá a norma . - Se
, então e os vetores são ortogonais (ângulo de ).
Passo 3
Calcular o produto interno
usando as coordenadas dadas:
Substituindo
,
,
e
,
,
:
Agora as contas, passo a passo:
Somando:
Passo 4
Calcular as normas
e
(não estritamente necessário para concluir o cosseno quando o produto interno é zero, mas é bom ver):
Substituindo:
portanto
Para
:
logo
Passo 5
Agora aplicar a fórmula do cosseno:
Como
, obtemos imediatamente
Interpretação rápida e motivadora: aqui os polinômios/pontos são ortogonais no produto interno dado — naquela prova isso vale ponto fácil.