Considere o produto interno
\langle p, q\rangle=a_{0} b_{0}+a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}, onde p(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} e q(x)= b_{0}+b_{1} x+b_{2} x^{2} são polinômios quaisquer em \mathbb{P}_{2}. Em cada parte, encontre o cosseno do ângulo entre p e q.
p=-1+5 x+2 x^{2}, q=2+4 x-9 x^{2}

Passo 1

O enunciado dá o produto interno
\langle p,q\rangle = a_{0}b_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2},
onde p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2} e q(x)=b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}. Os polinômios fornecidos são:
  • p(x)=-1+5x+2x^{2}, portanto a_{0}=-1, a_{1}=5, a_{2}=2.
  • q(x)=2+4x-9x^{2}, portanto b_{0}=2, b_{1}=4, b_{2}=-9.
O que é pedido: encontrar o cosseno do ângulo entre p e q, isto é, calcular o valor de \cos\theta onde \theta é o ângulo entre esses dois vetores (polinômios) no espaço com o produto interno dado.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (guarde-a para a prova): para dois vetores u e v em um espaço com produto interno, o cosseno do ângulo entre eles é
\cos\theta=\frac{\langle u,v\rangle}{\|u\|\,\|v\|},
onde a norma \|u\| é definida por \|u\|=\sqrt{\langle u,u\rangle}.
Explicando bem devagar:
  • \langle u,v\rangle é o produto interno (aqui, soma dos produtos das coordenadas).
  • \langle u,u\rangle é a soma dos quadrados das coordenadas de u; a raiz quadrada disso dá a norma \|u\|.
  • Se \langle u,v\rangle=0, então \cos\theta=0 e os vetores são ortogonais (ângulo de 90^\circ).

Passo 3

Calcular o produto interno \langle p,q\rangle usando as coordenadas dadas:
\langle p,q\rangle = a_{0}b_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}.
Substituindo a_{0}=-1, a_{1}=5, a_{2}=2 e b_{0}=2, b_{1}=4, b_{2}=-9:
\langle p,q\rangle = (-1)\cdot 2 + 5\cdot 4 + 2\cdot(-9).
Agora as contas, passo a passo:
(-1)\cdot 2 = -2, \qquad 5\cdot 4 = 20, \qquad 2\cdot(-9) = -18.
Somando:
\langle p,q\rangle = -2 + 20 - 18 = 0.

Passo 4

Calcular as normas \|p\| e \|q\| (não estritamente necessário para concluir o cosseno quando o produto interno é zero, mas é bom ver):
\|p\|^{2}=\langle p,p\rangle = a_{0}^{2}+a_{1}^{2}+a_{2}^{2}.
Substituindo:
\|p\|^{2}=(-1)^{2}+5^{2}+2^{2}=1+25+4=30,
portanto
\|p\|=\sqrt{30}.
Para q:
\|q\|^{2}=\langle q,q\rangle = b_{0}^{2}+b_{1}^{2}+b_{2}^{2}=2^{2}+4^{2}+(-9)^{2}=4+16+81=101,
logo
\|q\|=\sqrt{101}.

Passo 5

Agora aplicar a fórmula do cosseno:
\cos\theta=\frac{\langle p,q\rangle}{\|p\|\,\|q\|}.
Como \langle p,q\rangle=0, obtemos imediatamente
\cos\theta=\frac{0}{\sqrt{30}\,\sqrt{101}}=0.
Interpretação rápida e motivadora: aqui os polinômios/pontos são ortogonais no produto interno dado — naquela prova isso vale ponto fácil.

Resposta

0

Exercícios relacionados