Seja \vec{r}(t)=\left\langle e^{t} \cos t, e^{t} \sin t, 0\right\rangle.
(a) Calcule \vec{T}(t).
(b) Determine a curvatura \kappa(t) usando a fórmula
\kappa=\frac{\left\|\vec{r}^{\prime}(t) \times \vec{r}^{\prime \prime}(t)\right\|}{\left\|\vec{r}^{\prime}(t)\right\|^{3}} .

Passo 1

O enunciado dá o campo de posição
\vec{r}(t)=\left\langle e^{t}\cos t,\; e^{t}\sin t,\;0\right\rangle
e pede duas coisas:
  1. Calcular o vetor unitário tangente \vec{T}(t).
  2. Determinar a curvatura \kappa(t) usando a fórmula
\kappa=\frac{\left\|\vec{r}^{\prime}(t)\times\vec{r}^{\prime\prime}(t)\right\|}{\left\|\vec{r}^{\prime}(t)\right\|^{3}}.
As informações relevantes que temos são as componentes de \vec{r}(t) e a fórmula acima. A resolução começa encontrando \vec{r}^{\prime}(t) e \vec{r}^{\prime\prime}(t).

Passo 2

Calcular \vec{r}^{\prime}(t). Vou derivar componente a componente usando a regra do produto: (e^{t}f(t))' = e^{t}f(t)+e^{t}f'(t)=e^{t}(f(t)+f'(t)).
Para a primeira componente x(t)=e^{t}\cos t:
x'(t)=e^{t}(\cos t)+e^{t}(-\sin t)=e^{t}(\cos t-\sin t).
Para a segunda componente y(t)=e^{t}\sin t:
y'(t)=e^{t}(\sin t)+e^{t}(\cos t)=e^{t}(\sin t+\cos t).
Para a terceira componente z(t)=0:
z'(t)=0.
Logo,
\vec{r}^{\prime}(t)=\left\langle e^{t}(\cos t-\sin t),\; e^{t}(\sin t+\cos t),\;0\right\rangle.

Passo 3

Calcular \vec{r}^{\prime\prime}(t). Derivo cada componente de \vec{r}^{\prime}(t) novamente, aplicando a regra do produto quando necessário.
Primeira componente:
\frac{d}{dt}\big[e^{t}(\cos t-\sin t)\big] = e^{t}(\cos t-\sin t)+e^{t}(-\sin t-\cos t) = e^{t}\big((\cos t-\sin t)+(-\sin t-\cos t)\big).
Somando termos dentro dos parênteses:
(\cos t-\sin t)+(-\sin t-\cos t) = -2\sin t.
Portanto
x''(t)=-2e^{t}\sin t.
Segunda componente:
\frac{d}{dt}\big[e^{t}(\sin t+\cos t)\big] = e^{t}(\sin t+\cos t)+e^{t}(\cos t-\sin t) = e^{t}\big((\sin t+\cos t)+(\cos t-\sin t)\big).
Somando:
(\sin t+\cos t)+(\cos t-\sin t)=2\cos t,
assim
y''(t)=2e^{t}\cos t.
Terceira componente:
z''(t)=0.
Portanto
\vec{r}^{\prime\prime}(t)=\left\langle -2e^{t}\sin t,\; 2e^{t}\cos t,\;0\right\rangle.

Passo 4

Calcular a norma \left\|\vec{r}^{\prime}(t)\right\|. A norma de \langle a,b,0\rangle é \sqrt{a^{2}+b^{2}}. Aqui
a=e^{t}(\cos t-\sin t),\qquad b=e^{t}(\sin t+\cos t).
Então
\left\|\vec{r}^{\prime}(t)\right\| = \sqrt{ \big(e^{t}(\cos t-\sin t)\big)^{2} + \big(e^{t}(\sin t+\cos t)\big)^{2} }.
Fatorando e^{2t}:
\left\|\vec{r}^{\prime}(t)\right\| = e^{t}\sqrt{(\cos t-\sin t)^{2}+(\sin t+\cos t)^{2}}.
Agora expandimos as somas:
(\cos t-\sin t)^{2}=\cos^{2}t-2\sin t\cos t+\sin^{2}t=1-2\sin t\cos t,
(\sin t+\cos t)^{2}=\sin^{2}t+2\sin t\cos t+\cos^{2}t=1+2\sin t\cos t.
Somando as duas expressões:
(\cos t-\sin t)^{2}+(\sin t+\cos t)^{2}= (1-2\sin t\cos t)+(1+2\sin t\cos t)=2.
Portanto
\left\|\vec{r}^{\prime}(t)\right\|=e^{t}\sqrt{2}.

Passo 5

Calcular o vetor unitário tangente \vec{T}(t). A definição é
\vec{T}(t)=\frac{\vec{r}^{\prime}(t)}{\left\|\vec{r}^{\prime}(t)\right\|}.
Substituindo \vec{r}^{\prime}(t) e \left\|\vec{r}^{\prime}(t)\right\|:
\vec{T}(t)=\frac{1}{e^{t}\sqrt{2}}\left\langle e^{t}(\cos t-\sin t),\; e^{t}(\sin t+\cos t),\;0\right\rangle.
Cancelando e^{t}:
\vec{T}(t)=\left\langle \frac{\cos t-\sin t}{\sqrt{2}},\; \frac{\sin t+\cos t}{\sqrt{2}},\;0\right\rangle.
Isso é um vetor de norma 1 (verificável) que aponta na direção da velocidade.

Passo 6

Calcular o produto vetorial \vec{r}^{\prime}(t)\times\vec{r}^{\prime\prime}(t). Para vetores no plano xy, \langle a,b,0\rangle\times\langle c,d,0\rangle=\langle0,0,ad-bc\rangle. Aqui
a=e^{t}(\cos t-\sin t),\quad b=e^{t}(\sin t+\cos t),
c=-2e^{t}\sin t,\quad d=2e^{t}\cos t.
Calculamos a componente z:
ad-bc = e^{t}(\cos t-\sin t)\cdot 2e^{t}\cos t \;-\; e^{t}(\sin t+\cos t)\cdot(-2e^{t}\sin t).
Fatorando 2e^{2t}:
ad-bc = 2e^{2t}\big( \cos t(\cos t-\sin t) + \sin t(\sin t+\cos t)\big).
Expandindo dentro do parêntese:
\cos^{2}t -\sin t\cos t + \sin^{2}t + \sin t\cos t = \cos^{2}t+\sin^{2}t = 1.
Assim
ad-bc = 2e^{2t}.
Portanto
\vec{r}^{\prime}(t)\times\vec{r}^{\prime\prime}(t)=\left\langle 0,\;0,\;2e^{2t}\right\rangle,
e a sua norma é
\left\|\vec{r}^{\prime}(t)\times\vec{r}^{\prime\prime}(t)\right\|=2e^{2t}.

Passo 7

Calcular a curvatura \kappa(t) usando a fórmula dada:
\kappa(t)=\frac{\left\|\vec{r}^{\prime}(t)\times\vec{r}^{\prime\prime}(t)\right\|}{\left\|\vec{r}^{\prime}(t)\right\|^{3}}.
Substituindo os valores que obtivemos:
\kappa(t)=\frac{2e^{2t}}{\big(e^{t}\sqrt{2}\big)^{3}}.
Calcule o denominador:
\big(e^{t}\sqrt{2}\big)^{3}=e^{3t}(\sqrt{2})^{3}=e^{3t}\cdot 2\sqrt{2}.
Logo
\kappa(t)=\frac{2e^{2t}}{2\sqrt{2}\,e^{3t}}=\frac{e^{2t}}{\sqrt{2}\,e^{3t}}=\frac{e^{-t}}{\sqrt{2}}.

Resposta

\vec{T}(t)=\left\langle \dfrac{\cos t-\sin t}{\sqrt{2}},\; \dfrac{\sin t+\cos t}{\sqrt{2}},\;0\right\rangle
\kappa(t)=\dfrac{e^{-t}}{\sqrt{2}}

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