Uma partícula se move ao longo da hélice dada por
\vec{r}(t)=\langle 2 \cos t, 2 \sin t, t\rangle, \quad t \geq 0 .
(a) Encontre o vetor tangente unitário \vec{T}(t).
(b) Calcule o vetor normal unitário \vec{N}(t).
(c) Determine a curvatura \kappa(t).

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula como
\vec{r}(t)=\langle 2\cos t,\;2\sin t,\;t\rangle,\quad t\ge 0.
As perguntas são:
(a) Encontrar o vetor tangente unitário \vec{T}(t).
(b) Calcular o vetor normal unitário \vec{N}(t).
(c) Determinar a curvatura \kappa(t).
Também ficam explícitas as informações úteis que usaremos: a derivada \vec{r}\,'(t) dá a direção tangente (velocidade), a norma \lVert \vec{r}\,'(t)\rVert é a velocidade escalar (módulo), e fórmulas padrão que vamos usar serão apresentadas nos passos seguintes.

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada componente a componente, isto é \vec{r}\,'(t). Explico rápido: derivar um vetor significa derivar cada componente como função de t. Para cada componente \cos t\mapsto -\sin t, \sin t\mapsto \cos t, e t\mapsto 1. Assim,
\vec{r}\,'(t)=\langle -2\sin t,\;2\cos t,\;1\rangle.
Interpretação rápida: \vec{r}\,'(t) é o vetor tangente não-normalizado (velocidade).

Passo 3

Agora calculamos a norma (módulo) de \vec{r}\,'(t), ou seja \lVert \vec{r}\,'(t)\rVert. A norma de um vetor \langle a,b,c\rangle é \sqrt{a^2+b^2+c^2}. Aplicando:
\lVert \vec{r}\,'(t)\rVert = \sqrt{(-2\sin t)^2+(2\cos t)^2+1^2} = \sqrt{4\sin^2 t+4\cos^2 t+1}.
Usamos a identidade trigonométrica \sin^2 t+\cos^2 t=1. Então
\lVert \vec{r}\,'(t)\rVert = \sqrt{4\cdot 1 +1}=\sqrt{5}.
Observação útil: a velocidade é constante e igual a \sqrt{5}.

Passo 4

A definição do vetor tangente unitário é
\vec{T}(t)=\frac{\vec{r}\,'(t)}{\lVert \vec{r}\,'(t)\rVert}.
Substituindo \vec{r}\,'(t) e \lVert \vec{r}\,'(t)\rVert que já calculamos,
\vec{T}(t)=\frac{1}{\sqrt{5}}\langle -2\sin t,\;2\cos t,\;1\rangle.
Isso já é o vetor tangente unitário pedido: cada componente é a componente da velocidade dividida pela velocidade escalar.

Passo 5

Para obter o vetor normal unitário precisamos da derivada \vec{T}\,'(t). Derivando componente a componente (lembrando que 1/\sqrt{5} é constante),
\vec{T}\,'(t)=\frac{1}{\sqrt{5}}\langle -2\cos t,\;-2\sin t,\;0\rangle.
Interpretação: \vec{T}\,'(t) indica como a direção tangente muda com t; sua direção (após normalizar) é a direção normal principal.

Passo 6

Calculemos a norma de \vec{T}\,'(t):
\lVert \vec{T}\,'(t)\rVert = \frac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{(-2\cos t)^2+(-2\sin t)^2+0^2} = \frac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{4\cos^2 t+4\sin^2 t}.
Usando \cos^2 t+\sin^2 t=1,
\lVert \vec{T}\,'(t)\rVert = \frac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{4}=\frac{2}{\sqrt{5}}.

Passo 7

A definição do vetor normal unitário é
\vec{N}(t)=\frac{\vec{T}\,'(t)}{\lVert \vec{T}\,'(t)\rVert}.
Substituindo \vec{T}\,'(t) e \lVert \vec{T}\,'(t)\rVert,
\vec{N}(t)=\frac{\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}\langle -2\cos t,\;-2\sin t,\;0\rangle}{\displaystyle\frac{2}{\sqrt{5}}}.
Os fatores \frac{1}{\sqrt{5}} se cancelam, e \frac{1}{2} multiplica os componentes \langle -2\cos t,\;-2\sin t,\;0\rangle, resultando em
\vec{N}(t)=\langle -\cos t,\;-\sin t,\;0\rangle.
Verificação rápida: \lVert \vec{N}(t)\rVert=\sqrt{\cos^2 t+\sin^2 t}=1, então está normalizado. Intuição: \vec{N}(t) aponta radialmente para dentro (oposto ao vetor \langle \cos t,\sin t,0\rangle).

Passo 8

A curvatura \kappa(t) pode ser obtida pela fórmula
\kappa(t)=\frac{\lVert \vec{T}\,'(t)\rVert}{\lVert \vec{r}\,'(t)\rVert}.
Substituindo os valores já calculados \lVert \vec{T}\,'(t)\rVert=\frac{2}{\sqrt{5}} e \lVert \vec{r}\,'(t)\rVert=\sqrt{5},
\kappa(t)=\frac{\dfrac{2}{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}}=\frac{2}{5}.
Portanto a curvatura é constante e igual a \dfrac{2}{5}. (Se quiser conferir com outra fórmula, dá para usar \kappa=\dfrac{\lVert \vec{r}\,'\times\vec{r}\,''\rVert}{\lVert \vec{r}\,'\rVert^3} e obterá o mesmo resultado.)

Resposta

\displaystyle \vec{T}(t)=\frac{1}{\sqrt{5}}\langle -2\sin t,\;2\cos t,\;1\rangle
\displaystyle \vec{N}(t)=\langle -\cos t,\;-\sin t,\;0\rangle
\displaystyle \kappa(t)=\frac{2}{5}

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