Uma partícula se move ao longo da hélice dada por
(a) Encontre o vetor tangente unitário
.
(b) Calcule o vetor normal unitário
.
(c) Determine a curvatura
.
(b) Calcule o vetor normal unitário
(c) Determine a curvatura
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula como
As perguntas são:
(a) Encontrar o vetor tangente unitário .
(b) Calcular o vetor normal unitário .
(c) Determinar a curvatura .
(a) Encontrar o vetor tangente unitário
(b) Calcular o vetor normal unitário
(c) Determinar a curvatura
Também ficam explícitas as informações úteis que usaremos: a derivada
dá a direção tangente (velocidade), a norma
é a velocidade escalar (módulo), e fórmulas padrão que vamos usar serão apresentadas nos passos seguintes.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada componente a componente, isto é
. Explico rápido: derivar um vetor significa derivar cada componente como função de
. Para cada componente
,
, e
. Assim,
Interpretação rápida:
é o vetor tangente não-normalizado (velocidade).
Passo 3
Agora calculamos a norma (módulo) de
, ou seja
. A norma de um vetor
é
. Aplicando:
Usamos a identidade trigonométrica
. Então
Observação útil: a velocidade é constante e igual a
.
Passo 4
A definição do vetor tangente unitário é
Substituindo
e
que já calculamos,
Isso já é o vetor tangente unitário pedido: cada componente é a componente da velocidade dividida pela velocidade escalar.
Passo 5
Para obter o vetor normal unitário precisamos da derivada
. Derivando componente a componente (lembrando que
é constante),
Interpretação:
indica como a direção tangente muda com
; sua direção (após normalizar) é a direção normal principal.
Passo 6
Calculemos a norma de
:
Usando
,
Passo 7
A definição do vetor normal unitário é
Substituindo
e
,
Os fatores
se cancelam, e
multiplica os componentes
, resultando em
Verificação rápida:
, então está normalizado. Intuição:
aponta radialmente para dentro (oposto ao vetor
).
Passo 8
A curvatura
pode ser obtida pela fórmula
Substituindo os valores já calculados
e
,
Portanto a curvatura é constante e igual a
. (Se quiser conferir com outra fórmula, dá para usar
e obterá o mesmo resultado.)