Considere a curva plana dada por x=t, y=t^{2}, z=0.
(a) Parametrize-a como \vec{r}(t).
(b) Encontre a componente tangencial a_{T} e normal a_{N} da aceleração em t=1.
Passo 1
O enunciado dá a curva plana por x=t,\;y=t^{2},\;z=0. Pede duas coisas:
(a) Parametrizar a curva como \vec{r}(t).
(b) Calcular, no instante t=1, as componentes tangencial a_{T} e normal a_{N} da aceleração.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
A curva está no espaço tridimensional, mas tem z=0, ou seja é uma curva no plano xy.
As coordenadas paramétricas são x(t)=t e y(t)=t^{2}.
Não há outras restrições sobre o intervalo de t, então podemos trabalhar com t real.
Passo 2
Parametrização: uma parametrização vetorial \vec{r}(t) junta as coordenadas x(t),y(t),z(t) em um vetor. Portanto
\vec{r}(t)=\bigl(t,\;t^{2},\;0\bigr).
Isto é a resposta da parte (a): escrevemos as três coordenadas como uma função de t.
Passo 3
Velocidade e aceleração: derivamos componente a componente em relação a t.
A velocidade é \vec{v}(t)=\vec{r}\,'(t). Derivando cada componente:
\dfrac{d}{dt}t=1,
\dfrac{d}{dt}t^{2}=2t,
\dfrac{d}{dt}0=0.
Logo
\vec{v}(t)=\bigl(1,\;2t,\;0\bigr).
A aceleração é \vec{a}(t)=\vec{r}''(t)=\vec{v}\,'(t). Derivando \vec{v}(t):
\dfrac{d}{dt}1=0,
\dfrac{d}{dt}2t=2,
\dfrac{d}{dt}0=0.
Portanto
\vec{a}(t)=\bigl(0,\;2,\;0\bigr).
Passo 4
Definições e fórmulas úteis (aulas rápidas):
A componente tangencial da aceleração a_{T} mede a variação da rapidez (módulo da velocidade). Uma fórmula prática é
a_{T}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{\|\vec{v}\|},
onde \vec{v}\cdot\vec{a} é o produto escalar e \|\vec{v}\| é o comprimento (norma) da velocidade.
Outra forma equivalente é a_{T}=\dfrac{d}{dt}\|\vec{v}\|. Para ver por que são iguais: \dfrac{d}{dt}\|\vec{v}\|=\dfrac{d}{dt}\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}=\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{\|\vec{v}\|} (usa-se regra da cadeia e \dfrac{d}{dt}(\vec{v}\cdot\vec{v})=2\vec{v}\cdot\vec{a}).
A componente normal a_{N} mede a curvatura, isto é a parte da aceleração que muda a direção da velocidade. Uma fórmula prática é
Verificação alternativa (opcional): \|\vec{a}(1)\|=\sqrt{0^{2}+2^{2}+0^{2}}=2. Então \sqrt{\|\vec{a}\|^{2}-a_{T}^{2}}=\sqrt{4-\dfrac{16}{5}}=\sqrt{\dfrac{4}{5}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}, que coincide.
Passo 7
Interpretação rápida e ânimo: o resultado mostra que, em t=1, a aceleração tem uma componente tangencial a_{T}=\dfrac{4}{\sqrt{5}} (a rapidez está aumentando) e uma componente normal a_{N}=\dfrac{2}{\sqrt{5}} (a direção da velocidade também muda). Vai dar certo na prova — concentre-se em aprender as fórmulas e praticar mais alguns exemplos parecidos.