Considere a curva plana dada por x=t, y=t^{2}, z=0.
(a) Parametrize-a como \vec{r}(t).
(b) Encontre a componente tangencial a_{T} e normal a_{N} da aceleração em t=1.

Passo 1

O enunciado dá a curva plana por x=t,\;y=t^{2},\;z=0. Pede duas coisas:
  1. (a) Parametrizar a curva como \vec{r}(t).
  2. (b) Calcular, no instante t=1, as componentes tangencial a_{T} e normal a_{N} da aceleração.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • A curva está no espaço tridimensional, mas tem z=0, ou seja é uma curva no plano xy.
  • As coordenadas paramétricas são x(t)=t e y(t)=t^{2}.
  • Não há outras restrições sobre o intervalo de t, então podemos trabalhar com t real.

Passo 2

Parametrização: uma parametrização vetorial \vec{r}(t) junta as coordenadas x(t),y(t),z(t) em um vetor. Portanto
\vec{r}(t)=\bigl(t,\;t^{2},\;0\bigr).
Isto é a resposta da parte (a): escrevemos as três coordenadas como uma função de t.

Passo 3

Velocidade e aceleração: derivamos componente a componente em relação a t.
A velocidade é \vec{v}(t)=\vec{r}\,'(t). Derivando cada componente:
  • \dfrac{d}{dt}t=1,
  • \dfrac{d}{dt}t^{2}=2t,
  • \dfrac{d}{dt}0=0.
    Logo
\vec{v}(t)=\bigl(1,\;2t,\;0\bigr).
A aceleração é \vec{a}(t)=\vec{r}''(t)=\vec{v}\,'(t). Derivando \vec{v}(t):
  • \dfrac{d}{dt}1=0,
  • \dfrac{d}{dt}2t=2,
  • \dfrac{d}{dt}0=0.
    Portanto
\vec{a}(t)=\bigl(0,\;2,\;0\bigr).

Passo 4

Definições e fórmulas úteis (aulas rápidas):
  • A componente tangencial da aceleração a_{T} mede a variação da rapidez (módulo da velocidade). Uma fórmula prática é
a_{T}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{\|\vec{v}\|},
onde \vec{v}\cdot\vec{a} é o produto escalar e \|\vec{v}\| é o comprimento (norma) da velocidade.
  • Outra forma equivalente é a_{T}=\dfrac{d}{dt}\|\vec{v}\|. Para ver por que são iguais: \dfrac{d}{dt}\|\vec{v}\|=\dfrac{d}{dt}\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}=\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{\|\vec{v}\|} (usa-se regra da cadeia e \dfrac{d}{dt}(\vec{v}\cdot\vec{v})=2\vec{v}\cdot\vec{a}).
  • A componente normal a_{N} mede a curvatura, isto é a parte da aceleração que muda a direção da velocidade. Uma fórmula prática é
a_{N}=\frac{\|\vec{v}\times\vec{a}\|}{\|\vec{v}\|},
onde \times é o produto vetorial. Também vale a_{N}=\sqrt{\|\vec{a}\|^{2}-a_{T}^{2}} (separação ortogonal entre componentes tangencial e normal).

Passo 5

Avaliação em t=1: primeiro calculemos os vetores nessa t.
\vec{v}(1)=\bigl(1,\;2\cdot 1,\;0\bigr)=(1,\;2,\;0).
\vec{a}(1)=\bigl(0,\;2,\;0\bigr).
Norma da velocidade:
\|\vec{v}(1)\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+0^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.
Produto escalar \vec{v}(1)\cdot\vec{a}(1):
\vec{v}(1)\cdot\vec{a}(1)=1\cdot 0 + 2\cdot 2 + 0\cdot 0 = 4.
Usando a fórmula para a_{T}:
a_{T}\bigl|_{t=1\!}=\frac{\vec{v}(1)\cdot\vec{a}(1)}{\|\vec{v}(1)\|}=\frac{4}{\sqrt{5}}.

Passo 6

Cálculo de a_{N} por produto vetorial:
Primeiro o produto vetorial \vec{v}(1)\times\vec{a}(1). Fazendo o determinante:
\vec{v}(1)\times\vec{a}(1) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 2 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 \end{vmatrix} = (0,\;0,\;1\cdot 2 - 2\cdot 0)=(0,\;0,\;2).
A norma desse vetor é \|(0,0,2)\|=2. Logo
a_{N}\bigl|_{t=1\!}=\frac{\|\vec{v}(1)\times\vec{a}(1)\|}{\|\vec{v}(1)\|}=\frac{2}{\sqrt{5}}.
Verificação alternativa (opcional): \|\vec{a}(1)\|=\sqrt{0^{2}+2^{2}+0^{2}}=2. Então \sqrt{\|\vec{a}\|^{2}-a_{T}^{2}}=\sqrt{4-\dfrac{16}{5}}=\sqrt{\dfrac{4}{5}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}, que coincide.

Passo 7

Interpretação rápida e ânimo: o resultado mostra que, em t=1, a aceleração tem uma componente tangencial a_{T}=\dfrac{4}{\sqrt{5}} (a rapidez está aumentando) e uma componente normal a_{N}=\dfrac{2}{\sqrt{5}} (a direção da velocidade também muda). Vai dar certo na prova — concentre-se em aprender as fórmulas e praticar mais alguns exemplos parecidos.

Resposta

\vec{r}(t)=(t,\;t^{2},\;0)\n
a_{T}\bigl|_{t=1}=\dfrac{4}{\sqrt{5}}\n
a_{N}\bigl|_{t=1}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}

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