Seja
um produto interno em
(espaço vetorial dos polinômios de grau 2), onde
e
. Dados os vetores
,
, calcule:
(a) o produto interno
(b) o ângulo entre
e
(a) o produto interno
(b) o ângulo entre
Passo 1
O enunciado dá um produto interno em
por
onde
e
. Os vetores dados são
Perguntas a responder:
(a) calcular o produto interno ;
(b) calcular o ângulo entre e
.
(a) calcular o produto interno
(b) calcular o ângulo entre
Lista das informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Relembrando a definição que vamos usar (aqui só para entender o cálculo): o produto interno entre dois vetores dados pelos coeficientes é
Isso significa: multiplica-se coeficiente a coeficiente correspondente (grau por grau) e soma-se os produtos. Agora que já extraímos os coeficientes de
e
no passo 1, podemos aplicar diretamente essa fórmula.
Passo 3
Aplicando a fórmula para obter
:
Substituindo
e
:
Agora fazemos as multiplicações e soma:
portanto
Passo 4
Para encontrar o ângulo precisamos das normas dos vetores. A norma induzida pelo produto interno é dada por
Explicando:
soma os quadrados dos coeficientes (porque é
no caso), e a raiz quadrada disso dá o “tamanho” do vetor segundo esse produto interno.
Passo 5
Calculamos
:
Fazendo as contas:
logo
Portanto a norma de
é
Passo 6
Calculamos
:
Fazendo as contas:
logo
Portanto a norma de
é
Passo 7
A fórmula para o ângulo
entre dois vetores usando o produto interno é
Explicando: essa fórmula vem da generalização do produto escalar geométrico — o numerador mede a “projeção” entre vetores e o denominador normaliza pelos tamanhos, resultando em um cosseno que sempre está entre
e
.
Passo 8
Substituímos os valores já calculados:
Calculando numericamente o denominador:
. Assim
Passo 9
Agora obtemos
por
. Como
,
Para uma aproximação numérica usamos a relação
para
. Tomando
, temos aproximadamente
rad (porque
está bem próximo de
, então o ângulo pequeno é cerca de
, que aqui dá
rad). Logo
Convertendo para graus: