Seja \vec{p} . \vec{q}=a_{2} b_{2}+a_{1} b_{1}+a_{0} b_{0} um produto interno em V=P_{2} (espaço vetorial dos polinômios de grau 2), onde p=a_{2} x^{2}+a_{1} x+a_{0} e q=b_{2} x^{2}+b_{1} x+b_{0}. Dados os vetores \vec{p}_{1}=-2+x+3 x^{2}, \vec{p}_{2}=4-7 x^{2}, calcule:
(a) o produto interno \vec{p}_{1} \cdot \vec{p}_{2}
(b) o ângulo entre \vec{p}_{1} e \vec{p}_{2}

Passo 1

O enunciado dá um produto interno em V=P_{2} por
\vec{p}\cdot\vec{q}=a_{2}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{0}b_{0},
onde p=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0} e q=b_{2}x^{2}+b_{1}x+b_{0}. Os vetores dados são
\vec{p}_{1}=-2+x+3x^{2},
\vec{p}_{2}=4-7x^{2}.
Perguntas a responder:
(a) calcular o produto interno \vec{p}_{1}\cdot\vec{p}_{2};
(b) calcular o ângulo entre \vec{p}_{1} e \vec{p}_{2}.
Lista das informações relevantes fornecidas:
\vec{p}_{1}\text{ tem coeficientes }a_{2}=3,\;a_{1}=1,\;a_{0}=-2.
\vec{p}_{2}\text{ tem coeficientes }b_{2}=-7,\;b_{1}=0,\;b_{0}=4.

Passo 2

Relembrando a definição que vamos usar (aqui só para entender o cálculo): o produto interno entre dois vetores dados pelos coeficientes é
\vec{p}\cdot\vec{q}=a_{2}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{0}b_{0}.
Isso significa: multiplica-se coeficiente a coeficiente correspondente (grau por grau) e soma-se os produtos. Agora que já extraímos os coeficientes de \vec{p}_{1} e \vec{p}_{2} no passo 1, podemos aplicar diretamente essa fórmula.

Passo 3

Aplicando a fórmula para obter \vec{p}_{1}\cdot\vec{p}_{2}:
\vec{p}_{1}\cdot\vec{p}_{2}=a_{2}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{0}b_{0}.
Substituindo a_{2}=3,\;a_{1}=1,\;a_{0}=-2 e b_{2}=-7,\;b_{1}=0,\;b_{0}=4:
\vec{p}_{1}\cdot\vec{p}_{2}=3\cdot(-7)+1\cdot 0+(-2)\cdot 4.
Agora fazemos as multiplicações e soma:
3\cdot(-7)=-21,\quad 1\cdot 0=0,\quad (-2)\cdot 4=-8,
portanto
\vec{p}_{1}\cdot\vec{p}_{2}=-21+0-8=-29.

Passo 4

Para encontrar o ângulo precisamos das normas dos vetores. A norma induzida pelo produto interno é dada por
\|\vec{v}\|=\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}.
Explicando: \vec{v}\cdot\vec{v} soma os quadrados dos coeficientes (porque é a_{2}^{2}+a_{1}^{2}+a_{0}^{2} no caso), e a raiz quadrada disso dá o “tamanho” do vetor segundo esse produto interno.

Passo 5

Calculamos \vec{p}_{1}\cdot\vec{p}_{1}:
\vec{p}_{1}\cdot\vec{p}_{1}=a_{2}^{2}+a_{1}^{2}+a_{0}^{2}=3^{2}+1^{2}+(-2)^{2}.
Fazendo as contas:
3^{2}=9,\quad 1^{2}=1,\quad (-2)^{2}=4,
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\vec{p}_{1}\cdot\vec{p}_{1}=9+1+4=14.
Portanto a norma de \vec{p}_{1} é
\|\vec{p}_{1}\|=\sqrt{14}.

Passo 6

Calculamos \vec{p}_{2}\cdot\vec{p}_{2}:
\vec{p}_{2}\cdot\vec{p}_{2}=b_{2}^{2}+b_{1}^{2}+b_{0}^{2}=(-7)^{2}+0^{2}+4^{2}.
Fazendo as contas:
(-7)^{2}=49,\quad 0^{2}=0,\quad 4^{2}=16,
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\vec{p}_{2}\cdot\vec{p}_{2}=49+0+16=65.
Portanto a norma de \vec{p}_{2} é
\|\vec{p}_{2}\|=\sqrt{65}.

Passo 7

A fórmula para o ângulo \theta entre dois vetores usando o produto interno é
\cos\theta=\frac{\vec{p}_{1}\cdot\vec{p}_{2}}{\|\vec{p}_{1}\|\,\|\vec{p}_{2}\|}.
Explicando: essa fórmula vem da generalização do produto escalar geométrico — o numerador mede a “projeção” entre vetores e o denominador normaliza pelos tamanhos, resultando em um cosseno que sempre está entre -1 e 1.

Passo 8

Substituímos os valores já calculados:
\cos\theta=\frac{-29}{\sqrt{14}\,\sqrt{65}}=\frac{-29}{\sqrt{14\cdot 65}}=\frac{-29}{\sqrt{910}}.
Calculando numericamente o denominador: \sqrt{910}\approx 30{,}1662. Assim
\cos\theta\approx\frac{-29}{30{,}1662}\approx -0{,}96159.

Passo 9

Agora obtemos \theta por \theta=\operatorname{arccos}\bigl(\cos\theta\bigr). Como \cos\theta\approx -0{,}96159,
\theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(-0{,}96159\bigr).
Para uma aproximação numérica usamos a relação \operatorname{arccos}(-x)=\pi-\operatorname{arccos}(x) para x>0. Tomando x=0{,}96159, temos aproximadamente \operatorname{arccos}(x)\approx 0{,}2772 rad (porque x está bem próximo de 1, então o ângulo pequeno é cerca de \sqrt{2(1-x)}, que aqui dá \approx 0{,}2772 rad). Logo
\theta\approx \pi-0{,}2772\approx 2{,}8644\\ \text{rad}.
Convertendo para graus:
\theta\approx 2{,}8644\cdot\frac{180}{\pi}\approx 164{,}1^\circ.

Resposta

\vec{p}_{1}\cdot\vec{p}_{2}=-29
\theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{-29}{\sqrt{910}}\bigr)\approx 2{,}8644\\ \text{rad}\approx 164{,}1^\circ

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