Seja V=M(2,2) o espaço vetorial Euclidiano com a operação de produto interno usual em V.
Determine o valor de x de modo que \vec{u} e \vec{v} sejam ortogonais, sendo:
\vec{u}=\left(\begin{array}{cc} 1 & -2 \\\\ 5 & x \end{array}\right) \text { e } \vec{v}=\left(\begin{array}{cc} 3 & 2 \\\\ 1 & -1 \end{array}\right)

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes em V=M(2,2):
\vec{u}=\begin{pmatrix}1 & -2 \\[4pt] 5 & x\end{pmatrix}, \qquad \vec{v}=\begin{pmatrix}3 & 2 \\[4pt] 1 & -1\end{pmatrix},
e pede: “Determine o valor de x de modo que \vec{u} e \vec{v} sejam ortogonais.”
Informações relevantes listadas: os elementos de \vec{u} e \vec{v} (todos mostrados acima) e que o espaço tem o produto interno usual.]

Passo 2

O que significa “ortogonais” aqui? Significa que o produto interno entre \vec{u} e \vec{v} deve ser zero. Ou seja, precisamos impor
\langle \vec{u},\vec{v}\rangle = 0.

Passo 3

Qual é o “produto interno usual” em M(2,2)? É o produto interno de Frobenius, que corresponde à soma dos produtos termo a termo. Duas formas equivalentes de escrever:
\langle A,B\rangle = \sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2} a_{ij}b_{ij}
ou, em termos de traço,
\langle A,B\rangle = \operatorname{tr}(A^{T}B).
Aqui a_{ij} e b_{ij} são as entradas de A e B. Vou usar a soma termo a termo porque é direta para calcular com as matrizes dadas.

Passo 4

Escrevendo a soma termo a termo para \langle \vec{u},\vec{v}\rangle: multiplicamos cada entrada correspondente e somamos:
\langle \vec{u},\vec{v}\rangle = (1)(3) + (-2)(2) + (5)(1) + (x)(-1).
Aqui peguei cada entrada de \vec{u} e a correspondente de \vec{v}:
  • posição (1,1): 1\cdot 3,
  • posição (1,2): (-2)\cdot 2,
  • posição (2,1): 5\cdot 1,
  • posição (2,2): x\cdot(-1).

Passo 5

Agora imponho que esse produto interno seja zero (condição de ortogonalidade):
(1)(3) + (-2)(2) + (5)(1) + (x)(-1) = 0.

Passo 6

Faço as multiplicações e simplifico passo a passo:
3 + (-4) + 5 - x = 0.
Agrupando os números:
3 - 4 + 5 = 4,
então a equação fica
4 - x = 0.

Passo 7

Resolvendo para x:
4 - x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 4.

Passo 8

Cheque rápido (para ter certeza): com x=4,
\langle \vec{u},\vec{v}\rangle = 3 - 4 + 5 - 4 = 0,
portanto a escolha x=4 realmente torna \vec{u} e \vec{v} ortogonais.

Resposta

4

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