Informações relevantes que o enunciado fornece (ou implicita):
A parametrização é por comprimento de arco, isto é, o parâmetro s é o comprimento de arco.
Para parametrização por comprimento de arco vale \big\lVert \vec{r}^{\prime}(s)\big\rVert = 1 para todo s.
A curvatura \kappa(s) é definida, no caso de parametrização por comprimento de arco, por \kappa(s)=\big\lVert \vec{r}^{\prime\prime}(s)\big\rVert.
O objetivo é provar que, usando essas informações, a igualdade pedida é verdadeira.
Passo 2
Primeiro vamos usar uma propriedade básica: a derivada do produto escalar. Se \vec{u}(s) e \vec{v}(s) são vetores dependentes de s, então