Seja \vec{r}=\vec{r}(s) curva parametrizada no comprimento de arco. Mostre que
\overrightarrow{r^{\prime}} \cdot \overrightarrow{r^{\prime \prime \prime}}=-\kappa^{2}

Passo 1

O enunciado dá uma curva parametizada por comprimento de arco \vec{r}=\vec{r}(s) e pede para mostrar a identidade
\vec{r}^{\prime}\cdot\vec{r}^{\prime\prime\prime}=-\kappa^{2}.
Informações relevantes que o enunciado fornece (ou implicita):
  • A parametrização é por comprimento de arco, isto é, o parâmetro s é o comprimento de arco.
  • Para parametrização por comprimento de arco vale \big\lVert \vec{r}^{\prime}(s)\big\rVert = 1 para todo s.
  • A curvatura \kappa(s) é definida, no caso de parametrização por comprimento de arco, por \kappa(s)=\big\lVert \vec{r}^{\prime\prime}(s)\big\rVert.
    O objetivo é provar que, usando essas informações, a igualdade pedida é verdadeira.

Passo 2

Primeiro vamos usar uma propriedade básica: a derivada do produto escalar. Se \vec{u}(s) e \vec{v}(s) são vetores dependentes de s, então
\frac{d}{ds}\big(\vec{u}\cdot\vec{v}\big)=\vec{u}^{\prime}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{v}^{\prime}.
Aplicamos isso à quantidade \vec{r}^{\prime}\cdot\vec{r}^{\prime}. Como \big\lVert \vec{r}^{\prime}\big\rVert =1, temos
\vec{r}^{\prime}\cdot\vec{r}^{\prime}=1.
Agora derivamos em s:
\frac{d}{ds}\big(\vec{r}^{\prime}\cdot\vec{r}^{\prime}\big) =2\,\vec{r}^{\prime}\cdot\vec{r}^{\prime\prime}
pela regra do produto (ou diretamente pela propriedade acima com \vec{u}=\vec{v}=\vec{r}^{\prime}). Como o lado direito é a derivada de 1, obtemos
2\,\vec{r}^{\prime}\cdot\vec{r}^{\prime\prime}=0,
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\vec{r}^{\prime}\cdot\vec{r}^{\prime\prime}=0.
Interpretação: o vetor velocidade unitário \vec{r}^{\prime} é sempre ortogonal à sua derivada \vec{r}^{\prime\prime}.

Passo 3

Agora derivamos a igualdade \vec{r}^{\prime}\cdot\vec{r}^{\prime\prime}=0 novamente em s. Usando a regra do produto para o escalar:
\frac{d}{ds}\big(\vec{r}^{\prime}\cdot\vec{r}^{\prime\prime}\big) =\vec{r}^{\prime\prime}\cdot\vec{r}^{\prime\prime}+\vec{r}^{\prime}\cdot\vec{r}^{\prime\prime\prime}.
O lado esquerdo é a derivada de 0, portanto igual a 0. Assim chegamos a
\vec{r}^{\prime\prime}\cdot\vec{r}^{\prime\prime}+\vec{r}^{\prime}\cdot\vec{r}^{\prime\prime\prime}=0,
ou seja
\vec{r}^{\prime}\cdot\vec{r}^{\prime\prime\prime}=-\,\vec{r}^{\prime\prime}\cdot\vec{r}^{\prime\prime}.

Passo 4

Observe o termo da direita: \vec{r}^{\prime\prime}\cdot\vec{r}^{\prime\prime} é simplesmente o quadrado da norma de \vec{r}^{\prime\prime}:
\vec{r}^{\prime\prime}\cdot\vec{r}^{\prime\prime}=\big\lVert \vec{r}^{\prime\prime}\big\rVert^{2}.
Pelo que foi dado/definido para parametrização por comprimento de arco, a curvatura é
\kappa=\big\lVert \vec{r}^{\prime\prime}\big\rVert.
Portanto
\vec{r}^{\prime\prime}\cdot\vec{r}^{\prime\prime}=\kappa^{2}.

Passo 5

Substituindo o resultado do Passo 4 na igualdade obtida no Passo 3, obtemos
\vec{r}^{\prime}\cdot\vec{r}^{\prime\prime\prime}=-\kappa^{2},
que é exatamente a identidade que queríamos demonstrar.

Resposta

\vec{r}^{\prime}\cdot\vec{r}^{\prime\prime\prime}=-\kappa^{2}

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