Escreva a equação da reta tangente e do plano normal à curva
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e a condição
, que juntas definem uma curva (a interseção entre a superfície e o plano
). O ponto onde queremos estudar a curva é
.
Perguntas a responder:
- Escrever a equação da reta tangente à curva no ponto
. - Escrever a equação do plano normal à curva no ponto
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- Superfície:
. - Restrição que define a curva:
. - Ponto onde se pede a reta tangente e o plano normal:
.
Passo 2
Como a curva é a interseção da superfície com o plano
, uma maneira simples de estudar a curva é parametrizá-la usando uma única variável. Se
, então substituímos em
para obter
.
Portanto uma parametrização conveniente da curva é
Explicação didática: parametrizar significa descrever cada coordenada da curva como função de um parâmetro
. Aqui, como
e
são iguais, escolhemos
— isso gera todos os pontos da interseção.
Verificação do ponto
: para
temos
logo
corresponde ao ponto
, como esperado.
Passo 3
Agora vamos obter o vetor tangente à curva no ponto
. O vetor tangente é dado pela derivada da parametrização em relação a
:
Derivando componente a componente:
Explicação didática: derivamos cada componente separadamente — a derivada de
é
, e a derivada de
é
(pela regra potência:
, multiplicando por
dá
).
No ponto
(correspondente a
) o vetor tangente é
Interpretação:
é a direção da reta tangente à curva em
.
Passo 4
Equação da reta tangente: uma reta passando por um ponto
com direção
tem equação paramétrica
onde
é o parâmetro da reta.
Aplicando ao nosso caso com
e
, obtemos a reta tangente
Escrevendo componente a componente (equações paramétricas):
Forma simétrica (quando possível) da reta:
Explicação didática: a forma simétrica vem de isolar
em cada equação componente:
.
Passo 5
Equação do plano normal à curva: o “plano normal” (ou plano normal) à curva em
é o plano que é perpendicular à direção tangente da curva em
. Ou seja, o vetor normal do plano é justamente o vetor tangente
.
A equação de um plano com vetor normal
que passa por
é
Aqui usamos
,
,
e
. Substituindo:
Desenvolvendo:
Ou equivalentemente:
Verificação rápida: substituindo
na equação do plano obtemos
, portanto
pertence ao plano, como deve ser.
Passo 6
Resumo e dicas práticas para a prova (curto e direto):
- Quando tiver uma curva definida por interseção (superfície + plano ou duas superfícies), tente parametrizar usando uma variável que satisfaça a restrição (aqui
). - O vetor tangente é a derivada da parametrização; calcule componente a componente.
- A reta tangente sai direto: ponto + parâmetro × vetor direção.
- O plano normal é o plano perpendicular ao vetor tangente; use o vetor tangente como normal do plano e aplique a fórmula
.
Vai dar certo — faça uns exercícios parecidos: por exemplo intersectar
com
, parametrizar por
, achar tangente e plano normal — o processo é o mesmo.
Resposta
Reta tangente (paramétrica):
, isto é
Plano normal:
Plano normal: