Escreva a equação da reta tangente e do plano normal à curva
z=x^{2}+y^{2}, \quad x=y
no ponto P=(1,1,2).

Passo 1

O enunciado dá a superfície \;z=x^{2}+y^{2}\; e a condição \;x=y\;, que juntas definem uma curva (a interseção entre a superfície e o plano \;x=y\;). O ponto onde queremos estudar a curva é \;P=(1,1,2)\;.
Perguntas a responder:
  1. Escrever a equação da reta tangente à curva no ponto \;P\;.
  2. Escrever a equação do plano normal à curva no ponto \;P\;.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • Superfície: \;z=x^{2}+y^{2}\;.
  • Restrição que define a curva: \;x=y\;.
  • Ponto onde se pede a reta tangente e o plano normal: \;P=(1,1,2)\;.

Passo 2

Como a curva é a interseção da superfície com o plano \;x=y\;, uma maneira simples de estudar a curva é parametrizá-la usando uma única variável. Se \;x=y=t\;, então substituímos em \;z=x^{2}+y^{2}\; para obter \;z= t^{2}+t^{2}=2t^{2}.
Portanto uma parametrização conveniente da curva é
\mathbf{r}(t) = (x(t),y(t),z(t)) = (t,\;t,\;2t^{2}).
Explicação didática: parametrizar significa descrever cada coordenada da curva como função de um parâmetro t. Aqui, como x e y são iguais, escolhemos x=y=t — isso gera todos os pontos da interseção.
Verificação do ponto P: para \;t=1\; temos
\mathbf{r}(1) = (1,1,2),
logo t=1 corresponde ao ponto P, como esperado.

Passo 3

Agora vamos obter o vetor tangente à curva no ponto P. O vetor tangente é dado pela derivada da parametrização em relação a t:
\mathbf{r}'(t) = \left(\frac{d}{dt}x(t),\;\frac{d}{dt}y(t),\;\frac{d}{dt}z(t)\right).
Derivando componente a componente:
\mathbf{r}'(t) = (1,\;1,\;4t).
Explicação didática: derivamos cada componente separadamente — a derivada de t é 1, e a derivada de 2t^{2} é 4t (pela regra potência: \frac{d}{dt}(t^{2})=2t, multiplicando por 2 4t).
No ponto P (correspondente a t=1) o vetor tangente é
\mathbf{v}=\mathbf{r}'(1) = (1,\;1,\;4).
Interpretação: \mathbf{v} é a direção da reta tangente à curva em P.

Passo 4

Equação da reta tangente: uma reta passando por um ponto \mathbf{r}_0 com direção \mathbf{v} tem equação paramétrica
\mathbf{r}(s)=\mathbf{r}_0 + s\,\mathbf{v},
onde s é o parâmetro da reta.
Aplicando ao nosso caso com \mathbf{r}_0=(1,1,2) e \mathbf{v}=(1,1,4), obtemos a reta tangente
\mathbf{r}(s) = (1,1,2) + s(1,1,4).
Escrevendo componente a componente (equações paramétricas):
x = 1 + s,\qquad y = 1 + s,\qquad z = 2 + 4s.
Forma simétrica (quando possível) da reta:
\frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-2}{4}.
Explicação didática: a forma simétrica vem de isolar s em cada equação componente: s = x-1 = y-1 = \frac{z-2}{4}.

Passo 5

Equação do plano normal à curva: o “plano normal” (ou plano normal) à curva em P é o plano que é perpendicular à direção tangente da curva em P. Ou seja, o vetor normal do plano é justamente o vetor tangente \mathbf{v}=(1,1,4).
A equação de um plano com vetor normal (a,b,c) que passa por (x_{0},y_{0},z_{0}) é
a(x-x_{0}) + b(y-y_{0}) + c(z-z_{0}) = 0.
Aqui usamos a=1, b=1, c=4 e (x_{0},y_{0},z_{0})=(1,1,2). Substituindo:
1\cdot(x-1) + 1\cdot(y-1) + 4\cdot(z-2) = 0.
Desenvolvendo:
x-1 + y-1 + 4z -8 = 0 \quad\Rightarrow\quad x + y + 4z -10 = 0.
Ou equivalentemente:
x + y + 4z = 10.
Verificação rápida: substituindo P=(1,1,2) na equação do plano obtemos 1+1+8=10, portanto P pertence ao plano, como deve ser.

Passo 6

Resumo e dicas práticas para a prova (curto e direto):
  • Quando tiver uma curva definida por interseção (superfície + plano ou duas superfícies), tente parametrizar usando uma variável que satisfaça a restrição (aqui x=y=t).
  • O vetor tangente é a derivada da parametrização; calcule componente a componente.
  • A reta tangente sai direto: ponto + parâmetro × vetor direção.
  • O plano normal é o plano perpendicular ao vetor tangente; use o vetor tangente como normal do plano e aplique a fórmula a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Vai dar certo — faça uns exercícios parecidos: por exemplo intersectar z=x^2-y^2 com y=2x, parametrizar por x=t,\;y=2t, achar tangente e plano normal — o processo é o mesmo.

Resposta

Reta tangente (paramétrica): \displaystyle \mathbf{r}(s)=(1,1,2)+s(1,1,4), isto é \;x=1+s,\;y=1+s,\;z=2+4s.
Plano normal: \displaystyle x+y+4z=10.

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