Achar os pontos nos quais a tangente à curva
\vec{r}(t)=\left(3 t-t^{3}\right) \vec{i}+3 t^{2} \vec{j}+\left(3 t+t^{3}\right) \vec{k}
é paralela ao plano
3 x+y+z+2=0

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica (função vetor)
\vec{r}(t)=\left(3 t-t^{3}\right) \vec{i}+3 t^{2} \vec{j}+\left(3 t+t^{3}\right) \vec{k}
e o plano
3 x+y+z+2=0.
Pede-se: encontrar os pontos da curva nos quais a tangente à curva é paralela ao plano dado.
Informações relevantes extraídas do enunciado: as componentes da curva em função de t são x(t)=3t-t^{3}, y(t)=3t^{2}, z(t)=3t+t^{3}; a equação do plano fornece seu vetor normal.

Passo 2

Vamos obter o vetor tangent (direção da tangente) da curva. Para uma curva parametrizada por \vec{r}(t), o vetor tangente é a derivada \vec{r}\,'(t), calculada componente a componente. Ou seja, se \vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) então
\vec{r}\,'(t)=\big(x'(t),\,y'(t),\,z'(t)\big).
Agora derivamos cada componente:
x(t)=3t-t^{3}\quad\Rightarrow\quad x'(t)=3-3t^{2},
y(t)=3t^{2}\quad\Rightarrow\quad y'(t)=6t,
z(t)=3t+t^{3}\quad\Rightarrow\quad z'(t)=3+3t^{2}.
Logo o vetor tangente é
\vec{r}\,'(t)=\big(3-3t^{2},\;6t,\;3+3t^{2}\big).

Passo 3

Precisamos do vetor normal do plano. A equação do plano na forma \,a x+b y+c z+d=0\; tem vetor normal \vec{n}=(a,b,c). Da equação do plano dada \,3x+y+z+2=0\; extraímos diretamente
\vec{n}=(3,\,1,\,1).

Passo 4

Critério geométrico: uma reta (ou tangente) com vetor direção \vec{v} é paralela a um plano de normal \vec{n} se e somente se \vec{v} for ortogonal a \vec{n}. Em álgebra vetorial isso significa produto escalar zero:
\vec{v}\cdot\vec{n}=0.
Aqui \vec{v}=\vec{r}\,'(t). Então a condição para a tangente ser paralela ao plano é
\vec{r}\,'(t)\cdot\vec{n}=0.

Passo 5

Escrevemos o produto escalar e montamos a equação em t. Usando \vec{r}\,'(t)=\big(3-3t^{2},\,6t,\,3+3t^{2}\big) e \vec{n}=(3,1,1),
\vec{r}\,'(t)\cdot\vec{n}=3\cdot(3-3t^{2})+1\cdot(6t)+1\cdot(3+3t^{2}).
Agora desenvolvemos e simplificamos passo a passo:
3\cdot(3-3t^{2})=9-9t^{2},
1\cdot(6t)=6t,
1\cdot(3+3t^{2})=3+3t^{2}.
Somando:
9-9t^{2}+6t+3+3t^{2}=0.
Agrupando termos semelhantes:
(9+3)+6t+(-9t^{2}+3t^{2})=0
12+6t-6t^{2}=0.

Passo 6

Resolvemos a equação quadrática obtida. Primeiro simplificamos dividindo por -6 (ou por 6, conforme preferir); divido por -6 para obter coeficiente positivo em t^{2}:
-6t^{2}+6t+12=0 \quad\Longrightarrow\quad t^{2}-t-2=0.
Agora aplicamos fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) ou fatoramos. Vamos fatorar: procuramos dois números cujo produto seja -2 e soma seja -1; são -2 e 1. Então
t^{2}-t-2=(t-2)(t+1)=0.
Portanto as soluções são
t=2 \quad\text{ou}\quad t=-1.

Passo 7

Agora obtemos os pontos da curva correspondentes a esses parâmetros. Substituímos na função \vec{r}(t).
Para t=2:
x(2)=3\cdot2-2^{3}=6-8=-2,
y(2)=3\cdot2^{2}=3\cdot4=12,
z(2)=3\cdot2+2^{3}=6+8=14.
Logo o ponto é (-2,\,12,\,14).
Para t=-1:
x(-1)=3(-1)-(-1)^{3}=-3-(-1)=-3+1=-2,
y(-1)=3(-1)^{2}=3\cdot1=3,
z(-1)=3(-1)+(-1)^{3}=-3-1=-4.
Logo o ponto é (-2,\,3,\,-4).

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas bom para confiança): calcular \vec{r}\,'(t) em t=2 e t=-1 e checar produto escalar com \vec{n}.
Para t=2:
\vec{r}\,'(2)=(3-3\cdot4,\;6\cdot2,\;3+3\cdot4)= (3-12,\;12,\;3+12)=(-9,\,12,\,15).
Produto escalar com \vec{n}=(3,1,1):
(-9)\cdot3 + 12\cdot1 + 15\cdot1 = -27+12+15=0.
Para t=-1:
\vec{r}\,'(-1)=(3-3\cdot1,\;6(-1),\;3+3\cdot1)=(0,\,-6,\,6).
Produto escalar:
0\cdot3 + (-6)\cdot1 + 6\cdot1 = 0-6+6=0.
Ambos dão zero, confirmando que as tangentes nesses pontos são paralelas ao plano.

Resposta

(-2,\,12,\,14)
(-2,\,3,\,-4)

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