Achar os pontos nos quais a tangente à curva
é paralela ao plano
Passo 1
O enunciado dá a curva paramétrica (função vetor)
e o plano
Pede-se: encontrar os pontos da curva nos quais a tangente à curva é paralela ao plano dado.
Informações relevantes extraídas do enunciado: as componentes da curva em função de são
,
,
; a equação do plano fornece seu vetor normal.
Informações relevantes extraídas do enunciado: as componentes da curva em função de
Passo 2
Vamos obter o vetor tangent (direção da tangente) da curva. Para uma curva parametrizada por
, o vetor tangente é a derivada
, calculada componente a componente. Ou seja, se
então
Agora derivamos cada componente:
Logo o vetor tangente é
Passo 3
Precisamos do vetor normal do plano. A equação do plano na forma
tem vetor normal
. Da equação do plano dada
extraímos diretamente
Passo 4
Critério geométrico: uma reta (ou tangente) com vetor direção
é paralela a um plano de normal
se e somente se
for ortogonal a
. Em álgebra vetorial isso significa produto escalar zero:
Aqui
. Então a condição para a tangente ser paralela ao plano é
Passo 5
Escrevemos o produto escalar e montamos a equação em
. Usando
e
,
Agora desenvolvemos e simplificamos passo a passo:
Somando:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 6
Resolvemos a equação quadrática obtida. Primeiro simplificamos dividindo por
(ou por
, conforme preferir); divido por
para obter coeficiente positivo em
:
Agora aplicamos fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) ou fatoramos. Vamos fatorar: procuramos dois números cujo produto seja
e soma seja
; são
e
. Então
Portanto as soluções são
Passo 7
Agora obtemos os pontos da curva correspondentes a esses parâmetros. Substituímos na função
.
Para
:
Logo o ponto é
.
Para
:
Logo o ponto é
.
Passo 8
Verificação rápida (opcional, mas bom para confiança): calcular
em
e
e checar produto escalar com
.
Para
:
Produto escalar com
:
Para
:
Produto escalar:
Ambos dão zero, confirmando que as tangentes nesses pontos são paralelas ao plano.