Calcule o ângulo entre os vetores \vec{a}=(1,2,2) e \vec{b}=(2,1,2).

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3 e pede o ângulo entre eles. Informações fornecidas:
  • \vec{a}=(1,2,2).
  • \vec{b}=(2,1,2).
Pergunta: calcular o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}.

Passo 2

Vamos usar a relação que liga produto escalar, norma dos vetores e o cosseno do ângulo entre eles. Primeiro, o que essas coisas significam:
  • O produto escalar (ou dot product) de dois vetores \vec{u}=(u_1,u_2,u_3) e \vec{v}=(v_1,v_2,v_3) é definido por
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Ele é um número que mede, de forma algébrica, a “projeção” de um vetor sobre o outro.
  • A norma (comprimento) de \vec{u} é
\|\vec{u}\|=\sqrt{\vec{u}\cdot\vec{u}}=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}.
  • A relação entre produto escalar e ângulo \theta entre \vec{u} e \vec{v} é
\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\cos\theta.
Ou seja, isolando o cosseno,
\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}.
Quando eu usar essa fórmula, cada símbolo significa:
  • \vec{u}\cdot\vec{v}: número calculado pelo somatório dos produtos das componentes.
  • \|\vec{u}\| e \|\vec{v}\|: comprimentos dos vetores.
  • \theta: ângulo entre os vetores (o que queremos).

Passo 3

Calcular o produto escalar \vec{a}\cdot\vec{b} aplicando a definição componente a componente:
\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot2+2\cdot1+2\cdot2=2+2+4=8.

Passo 4

Calcular as normas \|\vec{a}\| e \|\vec{b}\|:
\|\vec{a}\|=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3,
\|\vec{b}\|=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=\sqrt{4+1+4}=\sqrt{9}=3.

Passo 5

Substituir na fórmula do cosseno:
\cos\theta=\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|}=\dfrac{8}{3\cdot3}=\dfrac{8}{9}.
Verificação rápida: \dfrac{8}{9} está entre -1 e 1, então é um cosseno válido.

Passo 6

Encontrar \theta tomando a função arco-cosseno:
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{8}{9}\right).
Uma forma equivalente e às vezes útil para cálculo é escrever \theta como
\theta=2\arctan\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{17}}\right),
pois dessa forma usa-se a identidade \operatorname{arccos} x = 2\arctan\!\big(\sqrt{\dfrac{1-x}{1+x}}\big) com x=\dfrac{8}{9} (a raiz simplifica para \dfrac{1}{\sqrt{17}}). Em aproximação numérica:
\theta\approx 0,47588\\ \text{rad}\approx 27,27^\circ.

Resposta

\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{8}{9}\right)\approx 0,47588\\ \text{rad}\approx 27,27^\circ

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