Calcule o ângulo entre os vetores
e
.
Passo 1
O enunciado dá dois vetores em
e pede o ângulo entre eles. Informações fornecidas:
-
. -
.
Pergunta: calcular o ângulo entre
e
.
Passo 2
Vamos usar a relação que liga produto escalar, norma dos vetores e o cosseno do ângulo entre eles. Primeiro, o que essas coisas significam:
- O produto escalar (ou dot product) de dois vetores
e é definido por
Ele é um número que mede, de forma algébrica, a “projeção” de um vetor sobre o outro.
- A norma (comprimento) de
é
- A relação entre produto escalar e ângulo
entre e é
Ou seja, isolando o cosseno,
Quando eu usar essa fórmula, cada símbolo significa:
-
: número calculado pelo somatório dos produtos das componentes. -
e : comprimentos dos vetores. -
: ângulo entre os vetores (o que queremos).
Passo 3
Calcular o produto escalar
aplicando a definição componente a componente:
Passo 4
Calcular as normas
e
:
Passo 5
Substituir na fórmula do cosseno:
Verificação rápida:
está entre
e
, então é um cosseno válido.
Passo 6
Encontrar
tomando a função arco-cosseno:
Uma forma equivalente e às vezes útil para cálculo é escrever
como
pois dessa forma usa-se a identidade
com
(a raiz simplifica para
). Em aproximação numérica: