Seja \vec{A}(x, y)=2 x y-i x^{2} y^{3}. Calcule:
divergente de \vec{A}

Passo 1

O enunciado nos dá um campo vetorial em duas dimensões \vec{A}(x,y)=A_x(x,y)\,\hat{\imath}+A_y(x,y)\,\hat{\jmath}
onde, pela escrita, identificamos
A_x(x,y)=2xy,\qquad A_y(x,y)=-x^2y^3.
O que precisamos é a divergência de \vec{A}, definida por
\div \vec{A} =\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}.

Passo 2

Calculemos a derivada parcial de A_x em relação a x. Como
A_x(x,y)=2xy,
temos
\frac{\partial A_x}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(2xy) =2y.

Passo 3

Agora a derivada parcial de A_y em relação a y. Como
A_y(x,y)=-x^2y^3,
vem
\frac{\partial A_y}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(-x^2y^3) =-x^2\cdot 3y^2 =-3x^2y^2.

Passo 4

Somando essas duas parcelas, obtemos a divergência:
\div \vec{A} =2y+(-3x^2y^2) =2y-3x^2y^2.

Resposta

A divergência de \vec{A} é
\div \vec{A}=2y-3x^2y^2.

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