Seja
um vetor particular em
. Determine se os seguintes são subespaços de
.
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado dá as informações seguintes:
-
é uma matriz fixa em . - O conjunto a ser analisado é
A pergunta é:
é um subespaço de
? Devemos responder afirmando ou negando e justificar rigorosamente.
Passo 2
Vamos reorganizar a condição que define
. Para todo
em
vale
Fatorando
à direita obtemos
onde
é a matriz identidade
. Assim
é o conjunto das matrizes
anuladas pela multiplicação à esquerda por
.
Passo 3
Defina a aplicação linear
Mostro que
é linear:
- Para
,
- Para escalar
e ,
Portanto
é uma transformação linear entre espaços vetoriais.
Passo 4
Observe que, pela definição em Passo 2,
ou seja,
é o núcleo (kernel) da aplicação linear
.
Passo 5
Fato importante da teoria linear: o núcleo de qualquer aplicação linear é sempre um subespaço vetorial. Para ficar bem claro, verifico diretamente as propriedades do subespaço para
:
- Elemento nulo: a matriz nula
satisfaz
logo
.
- Fechamento por soma: se
então e . Assim
portanto
.
- Fechamento por multiplicação escalar: se
e então
logo
.
Essas três propriedades mostram que
é um subespaço de
.
Passo 6
Complemento intuitivo (útil na prova): dependendo de
,
- se
for invertível, então e (um subespaço trivial); - se
então e (o subespaço inteiro);
em todos os casoscontinua sendo subespaço.
Resposta
Sim.
é um subespaço de
.