Seja A um vetor particular em \mathbb{R}^{2 \times 2}. Determine se os seguintes são subespaços de \mathbb{R}^{2 \times 2}.
(c) S_{3}=\left\{B \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \mid A B+B=O\right\}

Passo 1

O enunciado dá as informações seguintes:
  • A é uma matriz fixa em \mathbb{R}^{2\times2}.
  • O conjunto a ser analisado é
S_{3}=\left\{B\in\mathbb{R}^{2\times2}\mid AB+B=O\right\}.
A pergunta é: S_{3} é um subespaço de \mathbb{R}^{2\times2}? Devemos responder afirmando ou negando e justificar rigorosamente.

Passo 2

Vamos reorganizar a condição que define S_{3}. Para todo B em S_{3} vale
AB+B=O.
Fatorando B à direita obtemos
(A+I)B=O,
onde I é a matriz identidade 2\times2. Assim S_{3} é o conjunto das matrizes B anuladas pela multiplicação à esquerda por A+I.

Passo 3

Defina a aplicação linear
L:\mathbb{R}^{2\times2}\longrightarrow\mathbb{R}^{2\times2},\qquad L(B)=(A+I)B.
Mostro que L é linear:
  • Para B_{1},B_{2}\in\mathbb{R}^{2\times2},
L(B_{1}+B_{2})=(A+I)(B_{1}+B_{2})=(A+I)B_{1}+(A+I)B_{2}=L(B_{1})+L(B_{2}).
  • Para escalar \alpha\in\mathbb{R} e B\in\mathbb{R}^{2\times2},
L(\alpha B)=(A+I)(\alpha B)=\alpha (A+I)B=\alpha L(B).
Portanto L é uma transformação linear entre espaços vetoriais.

Passo 4

Observe que, pela definição em Passo 2,
S_{3}=\{B\in\mathbb{R}^{2\times2}\mid L(B)=O\}=\ker(L),
ou seja, S_{3} é o núcleo (kernel) da aplicação linear L.

Passo 5

Fato importante da teoria linear: o núcleo de qualquer aplicação linear é sempre um subespaço vetorial. Para ficar bem claro, verifico diretamente as propriedades do subespaço para S_{3}:
  1. Elemento nulo: a matriz nula O satisfaz
(A+I)O = O,
logo O\in S_{3}.
  1. Fechamento por soma: se B_{1},B_{2}\in S_{3} então (A+I)B_{1}=O e (A+I)B_{2}=O. Assim
(A+I)(B_{1}+B_{2})=(A+I)B_{1}+(A+I)B_{2}=O+O=O,
portanto B_{1}+B_{2}\in S_{3}.
  1. Fechamento por multiplicação escalar: se B\in S_{3} e \alpha\in\mathbb{R} então
(A+I)(\alpha B)=\alpha (A+I)B=\alpha O=O,
logo \alpha B\in S_{3}.
Essas três propriedades mostram que S_{3} é um subespaço de \mathbb{R}^{2\times2}.

Passo 6

Complemento intuitivo (útil na prova): dependendo de A,
  • se A+I for invertível, então \ker(L)=\{O\} e S_{3}=\{O\} (um subespaço trivial);
  • se A=-I então A+I=O e S_{3}=\mathbb{R}^{2\times2} (o subespaço inteiro);
    em todos os casos S_{3} continua sendo subespaço.

Resposta

Sim. S_{3} é um subespaço de \mathbb{R}^{2\times2}.

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