Seja o volume
limitado pela superfície
de normal
. Seja
o vetor posição de qualquer ponto no volume ou na sua superfície, mostre que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um volume
limitado pela superfície
de normal unitária
e o vetor posição
, vale
Para isso vamos usar a identidade do produto misto
e o Teorema da Divergência para converter integrais de superfície em volumétricas.
Passo 2
Aplique a identidade do produto misto com
,
,
e
:
Como
,
e
, temos
Passo 3
Use o Teorema da Divergência para calcular
Como
, segue
Passo 4
De modo similar, para cada par de índices
vale
Passo 5
Agora substituímos nas integrais: