Seja o volume V limitado pela superfície S de normal \boldsymbol{n}. Seja \boldsymbol{x} o vetor posição de qualquer ponto no volume ou na sua superfície, mostre que:
\int_{S}\left(\boldsymbol{e}_{i} \times \boldsymbol{x}\right) \cdot\left(\boldsymbol{e}_{j} \times \boldsymbol{n}\right) d S=2 V \delta_{i j}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um volume V limitado pela superfície S de normal unitária \boldsymbol{n} e o vetor posição \boldsymbol{x}, vale
\int_{S}\bigl(\boldsymbol{e}_{i}\times\boldsymbol{x}\bigr)\cdot\bigl(\boldsymbol{e}_{j}\times\boldsymbol{n}\bigr)\,dS \;=\;2\,V\,\delta_{ij}.
Para isso vamos usar a identidade do produto misto
(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{d}) =(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{d}) -(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{d})(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}),
e o Teorema da Divergência para converter integrais de superfície em volumétricas.

Passo 2

Aplique a identidade do produto misto com \boldsymbol{a}=\boldsymbol{e}_{i}, \boldsymbol{b}=\boldsymbol{x}, \boldsymbol{c}=\boldsymbol{e}_{j} e \boldsymbol{d}=\boldsymbol{n}:
\bigl(\boldsymbol{e}_{i}\times\boldsymbol{x}\bigr)\cdot\bigl(\boldsymbol{e}_{j}\times\boldsymbol{n}\bigr) =\bigl(\boldsymbol{e}_{i}\cdot\boldsymbol{e}_{j}\bigr)\,(\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{n}) -\bigl(\boldsymbol{e}_{i}\cdot\boldsymbol{n}\bigr)\,(\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{e}_{j}).
Como \boldsymbol{e}_{i}\cdot\boldsymbol{e}_{j}=\delta_{ij}, \boldsymbol{e}_{i}\cdot\boldsymbol{n}=n_{i} e \boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{e}_{j}=x_{j}, temos
(\boldsymbol{e}_{i}\times\boldsymbol{x})\cdot(\boldsymbol{e}_{j}\times\boldsymbol{n}) =\delta_{ij}\,(\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{n})-n_{i}\,x_{j}.

Passo 3

Use o Teorema da Divergência para calcular
\int_{S}\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{n}\,dS =\int_{V}\nabla\cdot\boldsymbol{x}\,dV.
Como \nabla\cdot\boldsymbol{x}=\partial_{k}x_{k}=3, segue
\int_{S}\boldsymbol{x}\cdot\boldsymbol{n}\,dS =\int_{V}3\,dV=3V.

Passo 4

De modo similar, para cada par de índices i,j vale
\int_{S}n_{i}\,x_{j}\,dS =\int_{V}\partial_{i}(x_{j})\,dV =\int_{V}\delta_{ij}\,dV =V\,\delta_{ij}.

Passo 5

Agora substituímos nas integrais:
\int_{S}\bigl(\boldsymbol{e}_{i}\times\boldsymbol{x}\bigr)\cdot\bigl(\boldsymbol{e}_{j}\times\boldsymbol{n}\bigr)dS =\delta_{ij}\,\bigl(\,3V\bigr)-\bigl(V\,\delta_{ij}\bigr) =2V\,\delta_{ij}.

Resposta

\int_{S}\bigl(\boldsymbol{e}_{i}\times\boldsymbol{x}\bigr)\cdot\bigl(\boldsymbol{e}_{j}\times\boldsymbol{n}\bigr)\,dS =2\,V\,\delta_{ij}.

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