Sabendo-se que u e v são campos vetoriais, utilizar o cálculo tensorial com notação indicial para verificar as seguintes identidades:
\boldsymbol{\nabla} \cdot(\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{v})=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para um campo vetorial \mathbf{v}, vale sempre
\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{v})=0
usando notação indicial e o cálculo tensorial. Vamos precisar do tensor de Levi-Civita \varepsilon_{ijk} e do fato de que derivadas parciais comutam: \partial_i\partial_j=\partial_j\partial_i.

Passo 2

Primeiro escrevemos em indicial a componente i-ésima do rotacional de \mathbf{v}:
(\nabla\times\mathbf{v})_{i}=\varepsilon_{i j k}\,\partial_{j}v_{k}.
Em seguida, a divergência desse vetor é
\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{v}) =\partial_{i}\bigl((\nabla\times\mathbf{v})_{i}\bigr) =\partial_{i}\bigl(\varepsilon_{i j k}\,\partial_{j}v_{k}\bigr) =\varepsilon_{i j k}\,\partial_{i}\partial_{j}v_{k}.

Passo 3

Como as derivadas parciais comutam, temos \partial_{i}\partial_{j}v_{k}=\partial_{j}\partial_{i}v_{k}, ou seja, o objeto \partial_{i}\partial_{j}v_{k} é simétrico em i\leftrightarrow j. Mas \varepsilon_{i j k} é anti‐simétrico em i\leftrightarrow j. A contração de um tensor simétrico com um anti‐simétrico sobre os mesmos índices é zero. Logo
\varepsilon_{i j k}\,\partial_{i}\partial_{j}v_{k}=0.

Resposta

\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{v})=0.

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