Sabendo-se que u e v são campos vetoriais, utilizar o cálculo tensorial com notação indicial para verificar as seguintes identidades:
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, para um campo vetorial
, vale sempre
usando notação indicial e o cálculo tensorial. Vamos precisar do tensor de Levi-Civita
e do fato de que derivadas parciais comutam:
.
Passo 2
Primeiro escrevemos em indicial a componente
-ésima do rotacional de
:
Em seguida, a divergência desse vetor é
Passo 3
Como as derivadas parciais comutam, temos
, ou seja, o objeto
é simétrico em
. Mas
é anti‐simétrico em
. A contração de um tensor simétrico com um anti‐simétrico sobre os mesmos índices é zero. Logo