1. Sejam t=u / v ; u=x^2-y^2, v=4 x y^3. Encontre partial t / partial x e partial t / partial y.

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar as derivadas parciais de
t=uv, onde
u=x^2-y^2 e v=4xy^3. Isso é um problema de derivada de quociente em várias variáveis, então vamos usar a regra do quociente junto com derivadas parciais.

Passo 2

Precisamos primeiro calcular as derivadas parciais de u e v. Como u=x^2-y^2, temos
ux=2x, uy=-2y
E como v=4xy^3, temos
vx=4y^3, vy=12xy^2

Passo 3

Agora aplicamos a regra do quociente para partial t/partial x:
partial tpartial x =v,ux - u,vxv^2 =(4xy^3)(2x) - (x^2-y^2)(4y^3)(4xy^3)^2
No numerador:
$$8x2y3 -4y3(x2-y2)=4y3(x2+y2).
8x^2y^3 -4y^3(x^2-y^2)=4y^3(x^2+y^2)
\frac{\partial t}{\partial x}
=\frac{4y3(x2+y2)}{16x2y^6}
=\frac{x2+y2}{4x2y3}.
$$

Passo 4

Para partial t/partial y usamos a mesma regra do quociente:
partial tpartial y =v,uy - u,vyv^2 =(4xy^3)(-2y) - (x^2-y^2)(12xy^2)16x^2y^6
Calculemos o numerador:
-8xy^4 -12xy^2(x^2-y^2) =-8xy^4 -12x^3y^2+12xy^4 =4xy^2(y^2-3x^2)
Assim
partial tpartial y =4xy^2(y^2-3x^2)16x^2y^6 =y^2-3x^24xy^4

Resposta

partial tpartial x=x^2+y^24x^2y^3, partial tpartial y=y^2-3x^24xy^4

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