Seja W o sólido limitado por x^{2}+y^{2}=4, z=0, z=3. Calcule o fluxo de F através da superfície S=\partial W, com campo de vetores normais exterior a S, se:
F(x, y, z)=(x, y, z).

Passo 1

O enunciado define o sólido W como o cilindro
x^{2}+y^{2}\le4,\quad 0\le z\le3
e sua fronteira S=\partial W. Queremos o fluxo de
F(x,y,z) = (x,y,z)
através de S com a normal voltada para fora. Vamos usar o Teorema da Divergência para simplificar.

Passo 2

Calculamos a divergência de F:
\nabla\cdot F = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3.

Passo 3

Determinamos o volume de W. É um cilindro de raio 2 e altura 3, logo
\mathrm{Vol}(W) = \pi \cdot 2^{2} \cdot 3 = 12\pi.

Passo 4

Pelo Teorema da Divergência, o fluxo é
\iint_{S}F\cdot n\,dS \;=\;\iiint_{W}\nabla\cdot F\,dV \;=\;3\;\times\;12\pi \;=\;36\pi.

Resposta

O fluxo de F através de S é 36\pi.

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