Seja W o sólido limitado por x^{2}+y^{2}=4, z=0, z=3. Calcule o fluxo de F através da superfície S=\partial W, com campo de vetores normais exterior a S, se:
F(x, y, z)=\left(x^{2}, 0, z\right).

Passo 1

O enunciado descreve o sólido W dado por
x^{2}+y^{2}\le4,\quad 0\le z\le3
e pede o fluxo de
F(x,y,z)=(x^{2},0,z)
através da superfície S=\partial W com normals apontando para fora. Vamos usar o Teorema da Divergência, que diz
\iint_{S}F\cdot n\,dS \;=\;\iiint_{W}\nabla\cdot F\,dV.

Passo 2

Calculamos a divergência de F:
\nabla\cdot F =\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}) +\frac{\partial}{\partial y}(0) +\frac{\partial}{\partial z}(z) =2x+1.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{S}F\cdot n\,dS =\iiint_{W}(2x+1)\,dV.
Separamos em duas integrais:
\iiint_{W}2x\,dV \;+\; \iiint_{W}1\,dV.
Como W é simétrico em x, a integral de 2x sobre W é zero. Logo
\iiint_{W}(2x+1)\,dV =\iiint_{W}1\,dV.

Passo 4

A integral \displaystyle\iiint_{W}1\,dV é o volume de W. Como W é um cilindro de raio 2 e altura 3,
\mathrm{Vol}(W) =\pi\cdot2^{2}\cdot3 =12\pi.

Resposta

O fluxo de F através de S é 12\pi.

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