Resolva os ítens abaixo:
Encontre o fluxo do campo F(x, y, z)=\left(e^{y}+\cos y z,-2 z y+x z, z^{2}+\frac{3}{\sqrt{2}}\right) através da superfície S, orientada positivamente, união das superfícies S_{1} e S_{2}, onde S_{1} é definida por z=4-2 x^{2}-y^{2}, 0 \leq z \leq 2, e S_{2} tem equação z=1+x^{2}+\frac{y^{2}}{2}, 1 \leq z \leq 2.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de
F(x,y,z)=\bigl(e^{y}+\cos(yz),\,-2zy+xz,\;z^{2}+\tfrac{3}{\sqrt{2}}\bigr)
através da superfície fechada S=S_{1}\cup S_{2}, orientada positivamente. Aqui o conteúdo é o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss), que diz que para uma superfície fechada orientada externamente
\iint_{S}F\cdot n\,dS \;=\;\iiint_{V}\nabla\!\cdot F\,dV,
onde V é o volume interno a S.

Passo 2

Calculamos a divergência de F=(P,Q,R):
\nabla\!\cdot F =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{y}+\cos(yz)\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-2zy+xz\bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(z^{2}+\tfrac{3}{\sqrt{2}}\Bigr).
Como e^{y} e \cos(yz) não dependem de x, o primeiro termo é zero. O segundo é
\frac{\partial}{\partial y}(-2zy+xz) =-2z,
e o terceiro é
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(z^{2}+\tfrac{3}{\sqrt{2}}\bigr) =2z.
Portanto
\nabla\!\cdot F = -2z + 2z = 0.

Passo 3

A união S=S_{1}\cup S_{2} é a fronteira de
V=\bigl\{(x,y,z)\mid x^{2}+\tfrac{y^{2}}{2}\le1,\;1+x^{2}+\tfrac{y^{2}}{2}\le z\le4-2x^{2}-y^{2}\bigr\},
pois em x^{2}+\tfrac{y^{2}}{2}=1 temos z=2 em ambas as superfícies, fechando o volume. Assim podemos aplicar o Teorema de Gauss.

Passo 4

Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{S}F\cdot n\,dS =\iiint_{V}\nabla\!\cdot F\,dV =\iiint_{V}0\,dV =0.

Resposta

O fluxo de F através de S é igual a 0.

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